Поповнення кільця або модуля є методом у комутативній алгебрі, в якому кільце або модуль поповнюється щодо заданої метрики, яка є індукованою ідеалом. Термін геометрично пов'язаний з локалізацією кільця: обидва кільця досліджують околи точки в спектрі кільця, але поповнення ще більше відображає локальні властивості.
Фільтрацією модуля над кільцем називається послідовність така, що:
Найважливішим частковим випадком є послідовність для деякого ідеала . Ця фільтрація називається -адичною.
Ввівши модуль послідовностей і використовуючи замість можна аналогічно до попереднього ввести поняття фундаментальних і нульових послідовностей і поповнення модуля
щодо фільтрації чи, в окремому випадку щодо ідеала .
Модуль називається повним (щодо фільтрації), коли природне відображення:
Як поповнення метричного простору[ред. | ред. код]
Поповнення кільця за ідеалом можна розглядати як окремий випадок поповнення метричних просторів, якщо відповідну метрику задати на кільці.
Нехай кільце і ідеал. Тоді на можна задати псевдометрику:
Якщо до того ж виконується:
то функція є метрикою, тобто додатково
До метричного простору можна застосувати стандартну процедуру поповнення метричних просторів. Внаслідок цього отримаємо кільце, що є повним метричним простором і є ізоморфним поповнення кільця згідно попереднього означення.
Якщо — кільце і — скінченнопороджений модуль над кільцем то відображення є сюр'єктивним. Якщо додатково є нетеровим кільцем, то це відображення є ізоморфізмом. В даному випадку поповнення модуля здійснюється за фільтрацією . Зокрема для деякого ідеала у нетеровому кільці звідси випливає
Нехай є -модулем і — задана на ньому фільтрація. Якщо для довільного розглядати модуль з індукованою фільтрацією, то є підмодулем і також
Для поповнення ідеала у нетеровому кільці (щодо -адичної фільтрації) справедливими є твердження: Також є підмножиною радикала Джекобсона кільця
Нехай є -модулем і — задана на ньому фільтрація. Тоді (де означені як і вище) є фільтрацією модуля і для цієї фільтрації
Нехай
коротка точна послідовність-модулів і — фільтрація модуля . Нехай і — індуковані фільтрації на модулях і Тоді поповнення модулів щодо цих фільтрацій утворюють точну послідовність
Зокрема це справедливо, якщо на всіх модулях фільтрація є породжена деяким ідеалом кільця:
Нехай плоска алгебрична крива в двовимірному афінному просторі, що задається рівнянням
У нульовій точці, крива перетинає сама себе і в околі нуля є схожою з кривою .
Ця локальна схожість виявляється ізоморфізмом
де
і
Самі локальні кільця двох кривих в точці не є ізоморфними на відміну від їх поповнень.
Кільце з лівої сторони «рівняння ізоморфізму» є прикладом того, що поповнення області цілісності, може саме не бути областю цілісності.
Інтерпретація в алгебричній геометрії[ред. | ред. код]
У алгебричній геометрії особливе значення мають поповнення локальних кілець в точках алгебричних многовидів. Вони є важливими для вивчення локальної поведінки многовидів і дають часто значно більше інформації, ніж самі локальні кільця.
Зокрема якщо дві точки і на незвідних алгебричних многовидах мають ізоморфні локальні кільця, то многовиди і є біраціональними. Локальне кільце несе майже всю інформацію про многовид, тоді як поповнення локального кільця має властивості, які інтуїтивно більш характерні саме для локальної інформації.
З теореми Коена випливає, що регулярні точки на алгебричних многовидах мають ізоморфні поповнення відповідних локальних кілець, тоді і тільки тоді коли відповідні многовиди мають однакову розмірність.