Грассманіан

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Грассманіаном в математиці називають множину лінійних підпросторів розмірності k лінійного простору V. Як правило цій множині надається деяка додаткова структура. Зокрема для випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел можна ввести природну структуру гладкого многовиду. В цьому випадку також використовується термін многовид Грассмана. Мають широке застосування в лінійній алгебрі, диференціальній і алгебраїчній геометрії, а також в інформатиці, зокрема комп'ютерному баченні. Названі на честь німецького математика Германа Грассмана.

Визначення

[ред. | ред. код]

Нехай є лінійним простором розмірності n над полем . Грассманіаном називається множина всіх лінійних підпросторів простору V розмірності k.

Пов'язаним є поняття множини елементами якої є всі можливі набори k лінійно незалежних векторів. Кожен такий набір однозначно визначає лінійний підпростір розмірності k, тобто елемент грассманіана. Але навпаки кожному підпростору розмірності k відповідають різні елементи

Ввівши деякий базис лінійного простору V, кожен вектор однозначно визначається своїми координатами в цьому базисі. Тоді k лінійно незалежних векторів можна ідентифікувати зі стовпцями деякої матриці розмірності n×k, ранг якої рівний k:

У випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел є гладким многовидом, що називається многовидом Штіфеля.

Топологія на грассманіані

[ред. | ред. код]

Нехай тепер V — лінійний простір над полем дійсних чисел. Топологію на грассманіані найпростіше визначити через топологію на через його ідентифікацію з підмножиною множини Спершу на існує природна топологія породжена якоюсь із норм матриць (наприклад нормою Фробеніуса).

Множина є відкритою в цій топології адже є прообразом відкритої множини щодо неперервного відображення На вводиться індукована топологія з топології на

Якщо тепер — деякий набір k лінійно незалежних векторів то їх лінійна оболонка очевидно є елементом Тому можна визначити відображення визначене рівністю Грассмановою топологією називається максимальна топологія для якої це відображення є неперервним. Тобто підмножина є відкритою у цій топології тоді й лише тоді коли є відкритою в .

Властивості топології

[ред. | ред. код]
  • Введена таким чином топологія є Гаусдорфовою.
  • Грассманіан із цією топологією є компактним простором.
  • Нехай Q — лінійний підпростір простору V розмірності n - k. Визначимо множину Дана множина G є відкритою.
Нехай і Як і раніше ідентифікуємо A з елементом з де стовпці матриці є координатами векторів у деякому базисі Нехай — матриця стовпцями якої є координати деяких базисних векторів підпростору Q відносно Очевидно що тоді й лише тоді коли визначник блокової матриці не дорівнює нулю. Але зважаючи, що визначник є многочленом від елементів матриці, звідси відразу стає зрозуміло, що при малій зміні елементів у перших k стовпцях він знову не буде рівним нулю. І відповідно підпростір породжений цими зміненими стовпцями матиме нульовий перетин з Q. Тобто якщо то й деякий окіл A є підмножиною Звідси випливає, що множина є відкритою і згідно визначення грассманової топології G теж є відкритою.

Структура гладкого многовиду

[ред. | ред. код]

Як фактор-многовид многовиду Штіфеля

[ред. | ред. код]

Оскільки можна визначити як відкриту підмножину на цій множині природно вводиться структура гладкого многовида. Для маємо де загальна лінійна група. Таким чином і оскільки є групою Лі дія якої на є гладкою, вільною і власною (прообраз компактної множини є компактним), то на можна ввести структуру фактор-многовиду.

Явний опис карт

[ред. | ред. код]

Проте гладку структуру можна ввести і в більш наглядний спосіб. Нехай і Q лінійний підпростір у V розмірності n - k, такий що Введемо базис лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P, а наступні n - k векторів є базисом простору Q.

Нехай Як вказано вище є відкритою множиною і очевидно Тобто є околом P.

Якщо то при чому p = 0 тоді й лише тоді, коли x = 0. Тому можна розглянути два лінійні відображення і для яких в попередніх позначеннях

Лінійне відображення діє між двома просторами розмірності k і воно є ін'єктивним ( з визначення ). Звідси випливає, що воно є лінійним ізоморфізмом і існує обернене відображення. Тому можна визначити лінійне відображення . Для введених раніше базисних векторів йому відповідає деяка матриця Відображення задає ізоморфізм між P і P', зокрема стовпці, блокової матриці задають координати базисних векторів простору P' щодо векторів Якщо тепер — дві різні матриці то підпростори визначені і очевидно належать і є різними. Таким чином визначається бієктивне відображення між і Не важко помітити, що воно є гомеоморфним.

Множина є покриттям простору локальними картами тобто грассманіан є локально евклідовим простором розмірності k·(n-k).

Для перевірки властивостей гладкого многовида потрібно лише перевірити властивості перехідних відображень.

Нехай — визначені як і раніше. Також визначимо і базисні вектори лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P1, а наступні n - k векторів є базисом простору Q1 і базисні вектори лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P2, а наступні n - k векторів є базисом простору Q2

Візьмемо тепер тобто Маємо Відповідно стовпці блокової матриці задають координати базисних векторів простору щодо Якщо матриця переходу від базиса до базиса простору V, то стовпці матриці є координатами тих самих базисних векторів простору щодо Перепишемо останню матрицю у блочному виді: де Стовпці матриці є лінійно незалежними. Також лінійно незалежними є стовпці матриці F. Справді довільна лінійна комбінація, яка переводить стовпці матриці F в нуль і не всі коефіцієнти якої рівні нулю, переводить вектори визначені стовпцями в ненульовий елемент , що неможливо згідно з означеннями.

З аналогічних до попередніх міркувань маємо — де X, деяка матриця стовпці якої визначають координати лінійно незалежних векторів у підпросторі у базисі З поданої рівності очевидно, що і, як наслідок

Тепер можна перевірити тип залежності елементів матриці від елементів матриці З рівності випливає, що коефіцієнти матриць є афінними функціями від елементів матриці З формули для оберненої матриці і попереднього випливає, що елементи матриці є раціональними функціями від елементів знаменники яких ніколи в не рівні нулю. Ця ж залежність справедлива і для елементів матриці Відповідно всі елементи матриці є гладкими функціями від елементів матриці тобто всі функції переходу є гладкими.

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]