Статистична механіка

Статистична механіка - розділ фізики, який, використовуючи статистичний підхід теорії ймовірності, вивчає макроскопічні властивості фізичних систем, що складаються із великого числа часток.

Основні засади

Незважаючи на той факт, що рівняння, які задають закони руху атомів та молекул, відомі, у випадку, коли цих атомів чи молекул надзвичайно багато, марно сподіватися, що ці рівняння можна розв'язати. Проте велике число часток в системі дозволяє застосувати статистичний підхід. Основна ідея цього підходу полягає в наступному.

Замість того, щоб вивчати еволюцію окремої системи, розглядяють усі можливі мікроскопічні стани, в яких вона може перебувати, й проведять усереднення певних фізичних величин, підраховуючи ймовірності реалізації того чи іншого значення.

Набір усіх можливих мікоскопічних станів системи називають статистичним ансамблем.

Постулюється, що усереднення по ансамблю дає той же результат, що й усереднення по часу. Строгого доведення такого припущення не існує, але воно, схоже, дає дуже задовільні результати.

Ансамблі

Усереднення у статистичній фізиці проводиться по усіх можливих мікроскопічних станах.

Найпростішим із статистичних ансамблів є мікроканонічний ансамбль, в який включають всі мікроскопічні стани, що мають певну енергію. Мікроканонічний ансамбль використовується для опису ізольованих систем, енергія яких залишається сталою завдяки закону збереження енергії.

У випадку систем, які перебувають в тепловому контакті із середовищем (термостатом), енергія системи може змінюватися. Сталою у рівноважному стані залишається інша макроскопічна величина - температура. Такими є, зокрема, окремі області ізольованої системи. Такі системи описуються ширшим ансамблем - який називають канонічним.

Нарешті, якщо система може обмінюватися з середовищем не лише енергією, а й частинками, то розглядають великий канонічний ансамбль.

Розподіли

Метою статистичної фізики визначити ймовірность реалізації того чи іншого макроскопічного стану й знайти значення макроскопічних параметрів, таких як об'єм, тиск, температура, густина, тощо. Для проведення усереднення по ансамблю необхідно знати ймовірність реалізації того чи іншого мікроскопічного стану. Ця ймовірність задається функцією розподілу.

Якщо, наприклад, у класичній фізиці система описується набором координат $q_{i}$ і імпульсів частинок $p_{i}$, а макроскопічна величина A є функцією цих координат і імпульсів, то

${\bar {A}}=\int A(q_{i},p_{i})w(q_{i},p_{i})dq_{i}dp_{i}$,

де $w(p_{i},q_{i})$ є функцією розподілу, а інтегрування проводиться по всьому фазовому простору.

Свої функції розподілу визначаються для кожного типу ансамблів.

Крім функцій розподілу для системи в цілому, яка визначає ймовірність реалізації певного мікроскопічного стану, часто розглядаються також одночастинкові функції розподілу, які визначають ймовірність того, що конкретна часка, атом чи молекула, перебуватиме в певному стані, наприклад, матиме певну швидкість.

Одночастинкова функція розподілу визначається через усереднення функції розподілу системи по всіх змінних, окрім певної вибраної.

$f(p_{1},q_{1})=\int w(q_{i},p_{i})\prod _{i>1}dq_{i}dp_{i}$.

Для однорідної в просторі системи одночастинкова функція розподілу не залежить від координати частинки, а лише від її імпульсу.

Аналогічним чином вводиться двочастинкова функція розподілу

$f(p_{1},q_{1},p_{2},q_{2})=\int w(q_{i},p_{i})\prod _{i>2}dq_{i}dp_{i}$.

Цю процедуру можна продовжити, вводячи три-, чотири- і т.д. частинкові функції розподілу.

Кореляційні функції визначають ймовірність того, що, наприклад, два атоми перебуватимуть на певній віддалі. Розглядаються двочастинкові, тричастинкові і т.д. кореляційні функції.

Див. також

Ергодична гіпотеза

Джерела

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. Москва: Наука.