Тіло (алгебра)

Запит «Кільце з діленням» перенаправляє сюди; див. також інші значення.

Тіло — алгебрична структура, всі елементи якої утворюють абелеву групу щодо дії додавання, а всі елементи, крім нуля,— мультиплікативну групу і, крім того, обидві групові операції зв'язані між собою законами дистрибутивності. Якщо множення в тілі комутативне, то тіло називається комутативним або полем.

Формальне визначення

Множина $K$ з заданими на ній алгебраїчними операціями додавання і множення називається тілом, якщо виконуються умови:

$a+b=b+a\,$ (комутативність додавання);
$(a+b)+c=a+(b+c)\,$ і $(ab)c=a(bc)\,$ (асоціативність множення);
Існують такі елементи $0,1\in K\,$ , що для довільного $a\in K$ виконується $a+0=0+a=a1=1a=a\,$ (існування нейтральних елементів);
$a(b+c)=ab+ac\,$ і $(a+b)c=ac+bc$ (дистрибутивність);
Для довільного $x\in K$ існують $y,z\in K$ , такі, що $y+x=x+y=0$ і $zx=xz=1$ ( існування зворотного елемента).

Остання умова виділяє тіло як особливу структуру серед кілець — тіло є кільцем із діленням.

Теорема Веддерберна — довільне скінченне тіло є скінченним полем.
Кожне тіло є алгеброю з діленням над своїм центром. Зокрема тіло є центральною простою алгеброю над своїм центром.
Якщо S є простим модулем над кільцем R, то множина всіх ендоморфізмів S є тілом. Довільне тіло можна задати в такий спосіб за допомогою деякого простого модуля