Теорема Гауса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Гауса - один із основних законів електростатики, еквівалентний закону Кулона, твердження про зв'язок між потоком вектора електричної індукції через замкнену поверхню, і сумарним зарядом, в об'ємі, оточеному цією поверхнею. Теорема Гауса справедлива також для змінних полів і є одним із основних законів електродинаміки.

В системі СІ теорема Гауса має вигляд:

 \int_S \mathbf{D} \cdot \mathbf{dS} = Q ,

де D - вектор електричної індукції,  Q - сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

 Q = \int_V \rho dV,

де  \rho - густина заряду.

В гаусовій системі одиниць СГСГ теорема Гауса формулюється

 \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi Q ,

де  \mathbf{E} - напруженість електричного поля.

Теорема Гауса і закон Кулона[ред.ред. код]

Теорема Гауса була отримана в 1835 Карлом Фрідріхом Гаусом, який виходив із закону Кулона. В сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гауса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гауса.

Вивід закону Кулона[ред.ред. код]

Для того, щоб отримати закон Кулона з теореми Гауса, розглядають точковий електричний заряд  q у вакуумі. На поверхні сфери радіусом  r , в центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції  \mathbf{D} дорівнює напруженості електричного поля  \mathbf{E} (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гауса:

 E 4\pi r^2 = 4\pi q \,.

Звідси основне твердження закону Кулона:

 E = \frac{q}{r^2}

В системі СІ  \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} , де  \varepsilon_0 - електрична стала. Теорема Гауса записується:

 \varepsilon_0 E 4\pi r^2 = q .

Звідси:

 E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} .

Теорема Гауса в диференціальній формі[ред.ред. код]

Теорему Гауса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського-Гауса (система СГС):

 \int_S \mathbf{E} \cdot \mathbf{dS} = \int_V \text{div}\; \mathbf{E} dV = 4\pi \int_V \rho dV .

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

 \text{div}\;\mathbf{E} = 4\pi \rho .

В системі СІ цей вираз має вигляд:

 \text{div}\;\mathbf{D} =  \rho

Теорема Гауса для полів у середовищі[ред.ред. код]

Теорема Гауса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом, справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

 \int_S \mathbf{E}\cdot \mathbf{dS} = 4\pi \int_V \rho dV  ,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші - увійдуть у цей об'єм зовні - речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, зяряджаючи тіла, зв'язаними - електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

 \rho = \rho_b + \rho_f ,

де  \rho_b - густина зв'язаних зарядів,  \rho_f - густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією:  \rho_b = - \text{div} \mathbf{P} .

Тоді теорема Гауса записується у вигляді

 \int_S (\mathbf{E} + 4\pi \mathbf{P})\cdot \mathbf{dS} = 4\pi \int_V \rho_f dV  .

Вводячи вектор електричної індукції

 \mathbf{D} = \mathbf{E} + 4\pi \mathbf{P}  ,

отримуємо теорему Гауса для діелектричних середовищ:

 \int_S \mathbf{D} \cdot \mathbf{dS} = 4\pi \int_V \rho_f dV ,

або в диференціальній формі

 \text{div}\;\mathbf{D} = 4 \pi \rho_f .

Магнітне поле[ред.ред. код]

Магнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю:

 \int_S \mathbf{B} \cdot \mathbf{dS} = 0. \,

Дивіться також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Сивухин Д.В. (1977). Общий курс физики. т III. Электричество. Москва: Наука.