Теорема косинусів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема косинусів — це твердження про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Теорема косинусів[ред. | ред. код]

У тригонометрії закон косинусів (також відомий як формула косинуса, правило косинусу або теорема Аль-Каші) пов'язує довжини сторін трикутника з косинусом одного з його кутів. Нехай сторони трикутника , а це його кути, протилежні вказаним сторонам. Тоді,

;
;
.
Позначення кутів і сторін трикутника

Ця формула корисна для знаходження третьої сторони трикутника якщо відомі інші дві сторони та кут між ними, та для знаходження його кутів, якщо відомі довжини його сторін.[1]

Із теореми косинусів: Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

;

;

.

Якщо

Твердження означає, що є прямим кутом, оскільки додатні. Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є загальнішою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доказу, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.

Наслідки з теореми косинусів[ред. | ред. код]

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін плюс (мінус) подвоєний добуток однієї з них на проекцію другої. Знак «+» потрібно ставити, якщо протилежний кут тупий, а знак «-», якщо кут гострий.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є гострим:

або , то  — гострий. Якщо квадрат деякої сторони трикутника більший від суми квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є тупим:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін

або , то  — тупий. Якщо квадрат деякої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є прямим:

або , то  — прямий.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. Для паралелограма можна записати рівність:

.[2]

Доведення (для гострого кута)[ред. | ред. код]

Трикутник

Нехай це сторони трикутника , а A, B і C - це кути протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B, що утворює прямий кут із протилежною стороною b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді звідки

Це означає, що довжина цього відрізку Схожим чином, довжина частини b що з'єднує точку перетину відрізку із стороною b та кут C рівна Решта довжини b рівна Ми маємо два прямокутних трикутники, один з катетами і гіпотенузою c. Звідси, відповідно до теореми Піфагора:

  • завжди 1, отже

Доведення теореми косинусів з використанням векторів[ред. | ред. код]

Векторний трикутник

Використовуючи вектори, ми можемо легко довести теорему косинусів. Нехай ми маємо довільний трикутник із вершинами A, B, і C що утворений векторами a, b, і c, нам відомо, що:

  • звідси

Згадавши чому дорівнює добуток двох векторів, отримаємо

Історія[ред. | ред. код]

Теорема косинусів була доведена геометрично в «Началах» Евкліда. «Начала» відіграли важливу роль у розвитку математичної науки. Історичне значення цієї праці полягає в тому, що в ній уперше здійснено спробу логічної побудови геометрії на основі аксіоматики. Стихії Евкліда проклали шлях до відкриття закону косинусів. У XV столітті перський математик і астроном Джамшид аль-Каші подав перше явне твердження закону косинусів у формі, придатній для тріангуляції. Він надав точні тригонометричні таблиці та висловив теорему у формі, придатній для сучасного використання. Теорема косинусів була вперше сформульована і набула популярності у західному світі французьким математиком Франсуа Вієтом в XVI столітті. На початку XIX століття її стали записувати як теорему косинусів у її нинішній символічній формі.

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

  • Геометрія (Мерзляк) 9 клас 2017. Шкільні підручники онлайн (uk). Процитовано 2019-12-29. 
  • Admin. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся ОНЛАЙН. edu-lib.com (ru-RU). Процитовано 2019-12-29.