Теорема косинусів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема косинусів це твердження про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора. Нехай a, b, і c сторони трикутника, а A, B, і C це його кути, протилежні вказаним сторонам. Тоді,

Ця формула корисна для знаходження третьої сторони трикутника якщо відомі інші дві сторони та кут між ними, та для знаходження його кутів, якщо відомі довжини його сторін.

Із теореми косинусів

Твердження cos C = 0 означає що C є прямим кутом, оскільки a і b додатні. Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є загальнішою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доказу, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.

Доведення (для гострого кута)[ред.ред. код]

Трикутник

Нехай a, b і c це сторони трикутника, а A, B і C це кути протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B що утворює прямий кут із протилежною стороною, b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді звідки

Це означає, що довжина цього відрізку Схожим чином, довжина частини b що з'єднує точку перетину відрізку із стороною b та кут C рівна Решта довжини b рівна Ми маємо два прямокутних трикутники, один з катетами і гіпотенузою c. Звідси, відповідно до теореми Піфагора:

  • завжди 1, отже

Доведення теореми косинусів з використанням векторів[ред.ред. код]

Векторний трикутник

Використовуючи вектори, ми можемо легко довести теорему косинусів. Нехай ми маємо довільний трикутник із вершинами A, B, і C що утворений векторами a, b, і c, нам відомо, що:

  • звідси

Згадавши чому дорівнює добуток двох векторів, отримаємо

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]