Матриця Гільберта

У лінійній алгебрі, матрицею Гільберта (була введена Давидом Гільбертом у 1894) називається квадратна матриця H з елементами:

$H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}},i,j=1,2,3,...,n$

Наприклад, матриця Гільберта 5 × 5 має вигляд:

$H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.$

На матрицю Гільберта можна подивитися як на матрицю, отриману з інтегралів:

$H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,$

тобто, як на матрицю Грама для степенів x. Вона виникає при апроксимації функцій поліномами методом найменших квадратів.

Матриця Гільберта є стандартним прикладом погано обумовлених матриць, що робить їх незручними для обчислення з допомогою обчислювально нестійких методів. Наприклад, число обумовленості відносно $\left\|\cdot \right\|_{2}$ — норми для матриці, що наведена вище, дорівнює 4.8 · 10⁵.

Історія

Гільберт (1894) ввів матрицю Гільберта при вивченні наступного питання: «Нехай I = [a, b] — дійсний інтервал. Чи можливо тоді знайти ненульовий поліном P з цілочисельними коефіціентами такий, що інтеграл

$\int _{a}^{b}P(x)^{2}dx$

був би не менше будь-якого заданого числа ε > 0?» Для відповіді на дане питання Гільберт вивів точну формулу для визначника матриці Гільберта та дослідив її асимптотику. Він зробив висновок, що відповідь позитивна, якщо довжина b − a інтервалу менше ніж 4.

Властивості

• Матриця Гільберта є симетричною додатно визначеною матрицею. Більш того, матриця Гільберта є цілком додатньою матрицею.

• Матриця Гільберта є прикладом ганкелевої матриці.

• Визначник матриці Гільберта може бути виражений в явному вигляді, як окремий випадок визначника Коши. Визначник матриці Гільберта n × n дорівнює

$\det(H)={{c_{n}^{\;4}} \over {c_{2n}}},$

де

$c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.\,$

Вже Гільберт помітив цікавий факт, що визначник матриці Гільберта — це зворотнє ціле число (див. послідовність послідовність A005249 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Цей факт випливає з рівності

${1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}.$

Користуючись формулою Стірлінга можна встановити наступний асимптотичний результат:

$\det(H)\approx a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}}$

де a_n сходиться до константи $e^{1/4}2^{1/12}A^{-3}\approx 0.6450$ при $n\rightarrow \infty$, де A — постійна Глейшера-Кінкелина.

• Матриця, зворотня до матриці Гільберта, може бути виражена у явному вигляді через біноміальні коефіцієнти:

$(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^{2}$

де n — порядок матриці. Таким чином, елементи зворотньої матриці $H^{-1}$ — цілі числа.

• Число обумовленості матриці Гільберта n × n зростає як $O((1+{\sqrt {2}})^{4n}/{\sqrt {n}})$.

Вклад Давида Гільберта в науку

• Простори: Гільбертів простір, Передгільбертів простір, Гільбертів куб
• Аксіоматика: Аксіоматика Гільберта
• Теореми: Теорема Гільберта 90, Теорема Гільберта про базис, Теорема Гільберта про нулі, Теорема Гільберта-Шмідта
• Оператори: Перетворення Гільберта, оператор Гільберта — Шмідта
• Загальна теорія відносності: Рівняння Ейнштейна-Гільберта
• Інше: Проблеми Гільберта, Крива Гільберта, Матриця Гільберта, Проблема Гільберта-Арнольда, Функція Гільберта, Парадокс Гільберта

Посилання

• Hilbert, David (1894), Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms, Acta Mathematica, Springer Netherlands, 18: 155—159, doi:10.1007/BF02418278, ISSN 0001-5962, JFM 25.0817.02. Передруковано в Hilbert, David. article 21. Collected papers. Т. II.
• Beckermann, Bernhard (2000). The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices. Numerische Mathematik. 85 (4): 553—577. doi:10.1007/PL00005392.
• Choi, M.-D. (1983). Tricks or Treats with the Hilbert Matrix. American Mathematical Monthly. 90 (5): 301—312. doi:10.2307/2975779. JSTOR 2975779.
• Todd, John (1954). The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39: 109—116.
• Wilf, H. S. (1970). Finite Sections of Some Classical Inequalities. Heidelberg: Springer. ISBN 3-540-04809-X.