Перетворення Гільберта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Перетворення Гільберта прямокутного сигнала.

Перетворення Гільберта — лінійне інтегральне перетворення, яке ставить у відповідність функції іншу функцію в тій самій області. Назване на честь Давида Гільберта, який сформулював його в свої роботах над задачею Рімана-Гільберта для голоморфних функцій. Використовується в галузі перетворень Фур'є та аналізу Фур'є. В обробці сигналів перетворення Гільберта перетворює дійсний сигнал на аналітичний.

Визначення[ред.ред. код]

Для дійсних змінних x та y та для дійсних або комплексних функцій f та g перетворення Гільберта визначається як:

Обернене перетворення Гільберта визначається як:

Приклади перетворення Гільберта[ред.ред. код]

Сигнал
Перетворення Гільберта
Функція sinc
Прямокутна функція
Дельта-функція Дірака
Характеристична функція

Зв'язок з перетворенням Фур'є[ред.ред. код]

Перетворення Фур'є перетворення Гільберта дорівнює:

де означає перетворення Фур'є, а sgn це Signum-функція.

Згідно з формулою Ейлера,

Отже H(u)(t) здійснює зсув фази компонент негативної частоти u(t) на +90° (π/2 радіан) та фази компонент позитивної частоти на −90°. При цьому i·H(u)(t) відновлює компоненти позитивної частоти та зсуває негативні на додаткові +90°, роблячи їх негативними.

Якщо перетворення Гільберта здійснюється двічі H(H(u)) = −u фаза компонентів негативної та позитивної частоти зсувається на +180° та −180°, відповідно. Сигнал стає негативним оскільки:

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.