Перетворення Гільберта

Перетворення Гільберта прямокутного сигналу.

У математиці та при обробці сигналів перетворення Гільберта — специфічний лінійний оператор, який функцію $u(t)$ дійсної змінної відображає в іншу функцію дійсної змінної $H(u)(t)$. Такий лінійний оператор визначається згорткою з функцією ${\dfrac {1}{\pi t}}$ (див.нижче п.Означення). Перетворення Гільберта має особливо просте представлення в частотній області: воно визначає фазовий зсув на $\pm 90^{\circ }$ (${\dfrac {\pi }{2}}$ радіан) для кожного частотного компоненту функції, при цьому знак зсуву залежить від знаку частоти (див.нижче п.Зв'язок з перетвореннями Фур'є). Перетворення Гільберта важливе для обробки сигналів, де воно є компонентою аналітичного представлення дійснозначного сигналу $u(t)$. Перетворення Гільберта було вперше введено Давидом Гільбертом у такій постановці при розв'язанні частинного випадку задачі Рімана—Гільберта для аналітичних функцій.

Означення

Перетворення Гільберта функції $u$ можна розглядати як згортку функції $u(t)$ з функцією $h(t)={\dfrac {1}{\pi t}}$, відомою як ядро Коші. Оскільки функція ${\dfrac {1}{t}}$ неінтегрована в околі $t=0$, то інтеграл, який визначає згортку, не завжди є збіжним. Замість цього, перетворення Гільберта визначається з використанням головного значення інтеграла за Коші (яке позначається тут як $\operatorname {p.v.}$). У явному вигляді, перетворення Гільберта функції (чи сигналу) $u(t))$ визначається як

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,{\rm {d}}\tau ,\end{aligned}}$

за умови, що цей інтеграл існує у сенсі головного значення. Це і є в точності згортка функції $u$ із помірним розподілом $\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi m}}$. Також, за допомогою заміни змінних, головне значення інтеграла за Коші можна записати явно як

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={-{\frac {1}{\pi }}}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}$

Якщо перетворення Гільберта послідовно двічі застосувати до функції $u$, то в результаті функція $u$ змінює знак:

${\begin{aligned}\operatorname {H} (\operatorname {H} (u))(t)=-u(t),\end{aligned}}$

за умови, що інтеграли в обох ітерації є збіжними у відповідному сенсі. Зокрема, оберненим перетворенням є $-\operatorname {H}$. Цей факт найлегше побачити, розглянувши дію перетворення Гільберта на перетворення Фур'є функції $u(t)$ (див. нижче Зв'язок з перетворенням Фур'є).

Для аналітичної функції у верхній півплощині, перетворення Гільберта описує зв'язок між дійсною та уявною частинами граничних значень. Тобто, якщо функція $f(z)$ є аналітичною у верхній півплощині комплексної площини $\{z\colon \operatorname {Im} \{z\}>0\}$ і $u(t)=\operatorname {Re} \{f(t+0{\rm {i}})\})$, то $\operatorname {Im} \{f(t+0{\rm {i}})\}=\operatorname {H} (u)(t)$ з точністю до адитивної константи, за умови, що перетворення Гільберта існує.

Позначення

У теорії обробки сигналів перетворення Гільберта функції $u(t)$ зазвичай позначають як ${\hat {u}}(t)$. Проте в математиці це позначення вже широко використовують для перетворення Фур'є функції $u(t)$. Інколи для перетворення Гільберта використовують позначення ${\tilde {u}}(t)$. Крім того, багато джерел визначають перетворення Гільберта як від'ємне до одного з визначених тут.

Історія

Перетворення Гільберта виникло у 1905 році в роботі Гільберта про проблему Рімана щодо аналітичних функцій,, яка стала відома як задача Рімана — Гільберта. Робота Гільберта в основному стосується перетворення Гільберта для функцій, що визначені на колі. Деякі з його попередніх робіт, що пов'язані з дискретним перетворенням Гільберта, базуються на лекціях, які він читав в Геттінгені. Ці результати пізніше були опубліковані у дисертації Германа Вейля. Шур покращив результати Гільберта про дискретне перетворення Гільберта і розширив їх на інтегральний випадок. Ці результати були послаблені для просторів $L^{2}$ та $l^{2}$. В 1928 році Марсель Ріс довів, що перетворення Гільберта можна визначити для функції $u$ у просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ при $1<p<\infty$. Ріс також довів, що перетворення Гільберта є обмеженим оператором у просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ при $1<p<\infty )$, і, що аналогічні результати справедливі для перетворення Гільберта на колі, а також для дискретного перетворення Гільберта. Перетворення Гільберта було мотиваційним прикладом для Антонія Зигмунда та Альберта Кальдерона при дослідженні синулярних інтегралів. Ці дослідження зіграли фундаментальну роль в сучасному гармонійному аналізі. Різноманітні узагальнення перетворень Гільберта, такі як білінійне і трилінійне перетворення, і сьогодні залишаються активними областями досліджень.

Зв'язок з перетворенням Фур'є

Перетворення Гільберта — це оператор множення. Множником оператора $\operatorname {H}$ є $\sigma _{\rm {H}}=-{\rm {i}}\operatorname {sgn} (\omega )$, де $\operatorname {sgn}$ — це функція знаку. Отже,

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\operatorname {H} (u))(t)(\omega )=-{\rm {i}}\operatorname {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),\end{aligned}}$

де ${\mathcal {F}}$ — перетворення Фур'є.Оскільки $\operatorname {sgn} (x)=\operatorname {sgn} (2\pi x)$, то цей результат можна використовувати для трьох загально відомих означень для перетворення Фур'є ${\mathcal {F}}$. Згідно з формулою Ейлера

$-i\,\operatorname {sgn} (\omega )={\begin{cases}{\rm {i}}={\rm {e}}^{+{\frac {{\rm {i}}\pi }{2}}},&{\text{при}}\ \omega <0,\\0,&{\text{при}}\ \omega =0,\\-{\rm {i}}={\rm {e}}^{-{\frac {{\rm {i}}\pi }{2}}},&{\text{при}}\ \omega >0.\end{cases}}$

Таким чином, перетворення Гільберта $\operatorname {H} (u)(t)$ має ефект зсуву фази для компонент з від'ємною частотою функції $u(t)$ на $90^{\circ }$ (${\frac {\pi }{2}}$) і для компонент з додатною частотою — на $-90^{\circ }$, а ${\rm {i}}\operatorname {H} (u)(t)$ має ефект відновлення компонент з додатною частотою при зсуві компонент з від'ємною частотою додатково на $+90^{\circ }$, що приводить у результаті до зміни знаку (тобто множення на $-1$). Якщо перетворення Гільберта застосовується двічі, то фаза для компонент від'ємної та додатної частот функції $u(t)$ відповідно зміщуються на $+180^{\circ }$ та $-180^{\circ }$, які є еквівалентними сумами.Сигнал змінює знак, тобто $\operatorname {H} (\operatorname {H} (u))=-u$, оскільки

${\begin{aligned}(\sigma _{\rm {H}}(\omega ))^{2}=e^{\pm {\rm {i}}\pi }=-1\quad {\text{для}}\quad \omega =0.\end{aligned}}$

Таблиця деяких перетворень Гільберта

У наступній таблиці, параметр частоти $\omega$ — є дійсним.

Сигнал $u(t)\,$	Перетворення Гільберта $H(u)(t)\,$
$\sin(\omega t)$	${\begin{array}{ll}\sin \left(\omega t-{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega >0\\\sin \left(\omega t+{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega <0\end{array}}$
$\cos(\omega t)$,	${\begin{array}{ll}\cos \left(\omega t-{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega >0\\\cos \left(\omega t+{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega <0\end{array}}$
${\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega t}$	${\begin{array}{ll}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\\{\rm {e}}^{{\rm {i}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\end{array}}$
${\rm {e}}^{{-{\rm {i}}}\omega t}$	${\begin{array}{ll}{\rm {e}}^{{-{\rm {i}}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\\{\rm {e}}^{{-{\rm {i}}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\end{array}}$
$1 \over t^{2}+1$	$t \over t^{2}+1$
Функція sinc $\sin(t) \over t$	$1-\cos(t) \over t$
Дельта-функція Дірака $\delta (t)\,$	${1 \over \pi t}$
Характеристична функція $\chi _{[a,b]}(x)\,$	${\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {x-a}{x-b}}\right\vert \,$

Примітки

Доступна достатньо велика таблиця перетворень Гільберта. Зауважимо, що перетворення Гільберта для константи дорівнює нулю

Область визначення

Зовсім не очевидно, що перетворення Гільберта взагалі є добре визначеним, оскільки відповідний невласний інтеграл має збігатися у відповідному сенсі. Проте перетворення Гільберта добре визначене для широкого класу функцій, а саме у просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$, $1<p<\infty$.

Точніше, якщо функція $u$ з простору $L^{p}(\mathbb {R} )$, $1<p<\infty$, тоді границя, що визначає цей невласний інтеграл

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={-{\frac {1}{\pi }}}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,{\rm {d}}\tau ,\end{aligned}}$

існує для майже всіх $t$. Границя функції також існує в просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ і фактично є границею в середньому для невласного інтеграла. А саме

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={-{\frac {1}{\pi }}}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,{\rm {d}}\tau \rightarrow \operatorname {H} (u)(t),\end{aligned}}$

у нормі $L^{p}$ при $\varepsilon \rightarrow 0$. Збіжність є поточковою майже всюди за теоремою Тітчмарша.

У випадку $p=1$ перетворення Гільберта все ще збігається поточково майже всюди, але саме по собі може бути неінтегровним, навіть локально. Зокрема, збіжність у середньому, у цьому випадку загалом негарантоване. Перетворення Гільберта для функції з $L^{1}$ є збіжним, але $L^{1}$-слабкому сенсі, і перетворення Гільберта є обмеженим оператором з простору $L^{1}$ у простір $L^{1,w}$. (Зокрема, оскільки перетворення Гільберта також є оператором множення в просторі $L^{2}$, то інтерполяційна теорема Марцинкевича та аргумент дуальності надають альтернативне доведення того, що оператор $\operatorname {H}$ є обмеженим у просторі $L^{p}$.)

Обмеженість

Якщо $1<p<\infty$, то перетворення Гільберта в просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ є обмеженим лінійним оператором, тобто існує константа $C_{p}$ така, що

${\begin{aligned}\|\operatorname {H} u\|_{p}\leq C_{p}\|u\|_{p},\end{aligned}}$

для всіх $u\in L^{p}(\mathbb {R} )$. Найкраще константа $C_{p}$ визначається як

$C_{p}={\begin{cases}\operatorname {tg} {\dfrac {\pi }{2p}}&{\text{якщо}}~1<p\leq 2,\\\operatorname {ctg} {\dfrac {\pi }{2p}}&{\text{якщо}}~2<p<\infty .\end{cases}}$

Найпростіший спосіб знаходження найкращої константи $C_{p}$ для $p$, яке є степенем $2$, через так звану рівність Котлара

${\begin{aligned}(\operatorname {H} f)^{2}=f^{2}+2\operatorname {H} (f\operatorname {H} f)\end{aligned}}$

для всіх дійснозначних функцій $f$. Ті самі найкращі константи мають місце для періодичного перетворення Гільберта.

З обмеженості перетворення Гільберта випливає $L^{p}(\mathbb {R} )$ збіжність симетричного оператора частинної суми

${\begin{aligned}S_{R}f=\int \limits _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi ){\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\xi }{\rm {d}}\xi \end{aligned}}$

для функції $f$ з простору $L^{p}(\mathbb {R} )$.

Антисамоcпряженість

Перетворення Гільберта є антисамоспряженим оператором відносно дуального утворення пар між простором $L^{p}(\mathbb {R} )$ та дуальним простором $L^{q}(\mathbb {R} )$, де $p$ та $q$ — спряжені за Гельдером і $1<p$, $q<\infty$. У символьній формі

${\begin{aligned}\left\langle \operatorname {H} u,v\right\rangle =\left\langle u,-\operatorname {H} v\right\rangle \end{aligned}}$

для $u\in L^{p}(\mathbb {R} )$ та $v\in L^{q}(\mathbb {R} )$.

Обернене перетворення

Перетворення Гільберта є антиінволюцією, тобто

${\begin{aligned}\operatorname {H} (\operatorname {H} (u))=-u\end{aligned}}$

за умови, що кожне перетворення є добре визначеним. Оскільки оператор $\operatorname {H}$ зберігає простір $L^{p}(\mathbb {R} )$, то перетворення Гільберта є оборотне в просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ і

${\begin{aligned}\operatorname {H} ^{-1}=-\operatorname {H} .\end{aligned}}$

Структура над комплексною площиною

Оскільки $\operatorname {H} ^{2}=-\operatorname {I}$ ($\operatorname {I}$ — тотожний оператор у дійсному банаховому просторі дійснозначних функцій у просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$, то перетворення Гільберта визначає лінійну комплексну структуру в банаховому просторі. Зокрема, при $p=2$ перетворення Гільберта надає гільбертовому простору дійснозначних функцій в просторі $L^{2}(\mathbb {R} )$ структуру \emph{комплексного} гільбертового простору.

Квантові стани (зокрема, комплексні) перетворення Гільберта допускають за теоремою Пелі—Вінера представлення у вигляді голоморфних функцій у верхній та в нижній півплощинах у просторі Гарді $\operatorname {H} ^{2}$.

Згортки

Перетворення Гільберта можна формально реалізувати як згортку з узагальненою функцією повільного росту

${\begin{aligned}h(t)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi \,t}}.\end{aligned}}$

Таким чином, формально можна записати

$\operatorname {H} (u)=h*u.$

Однак, апріорі можна визначити лише для узагальненої функції $u$ з компактним носієм. З цим можна працювати дещо строгіше, оскільки функції з компактними носіями(які очевидно є узагальненими) є щільними в просторі $L^{p}$. Як альтернативу можна використати той факт, що $h(t)$ є узагальненою похідною від функції $\log {\dfrac {|t|}{\pi }}$, а саме

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {1}{\pi }}\left(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |}\right)(t)\right).\end{aligned}}$

Для більшості обчислювальних задач Перетворення Гільберта можна розглядати як згортку. Наприклад, у формальному сенсі перетворення Гільберта згортки — це згортка перетворення Гільберта, що застосована лише до одного з множників:

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u*v)=\operatorname {H} (u)*v=u*\operatorname {H} (v).\end{aligned}}$

Це строго коректно, якщо $u$ і $v$ — це узагальнені функції з компактними носіями, оскільки в цьому випадку

${\begin{aligned}h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v).\end{aligned}}$

Таким чином, переходячи до відповідної границі, з теореми Тічмарша випливає також коректність для $u\in L^{p}$ і $v\in L^{q}$ за умови, що

${\begin{aligned}1<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}.\end{aligned}}$

Інваріантність

У просторі $L^{2}(\mathbb {R} )$ перетворення Гільберта має наступні інваріантні властивості:

• Воно комутує зі зсувами, тобто з операторами $\operatorname {T} _{a}f(x)=f(x+a)$ для всіх $\alpha \in \mathbb {R}$.
• Воно комутує з додатніми розтягами, тобто з операторами $\operatorname {M} _{\lambda }f(x)=f(\lambda x)$ для всіх $\lambda >0$.
• Воно антикомутує з віддзеркаленням $Rf(x)=f(-x)$. Таким чином, з точністю до мультиплікативної константи перетворення Гільберта — це єдиний обмежений оператор у просторі $L^{2}$, який володіє вищезгаданими властовостями. Насправді існує ширша множина операторів, що комутують з перетворенням Гільберта. Група ${\rm {SL}}(2,\mathbb {R} )$ дія якої у просторі $L^{2}(\mathbb {R} )$ за допомогою унітарних операторів $\operatorname {U} _{g}$ визначається формулою

${\begin{aligned}\operatorname {U} _{g}^{-1}f(x)={\frac {1}{cx+d}}f\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right),\quad g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},\quad {\text{для}}\quad ad-bc=\pm 1.\end{aligned}}$

Унітарне представлення — це приклад головного представлення ряду групи ${\rm {SL}}(2,\mathbb {R} )$.У цьому випадку унітарне представлення є звідним, розщепленим як ортогональна сума два інваріантних підпросторів: простору Гарді $\operatorname {H} ^{2}$ і його дуального простору. Це простори $L^{2}$ граничних значень голоморфних функцій на верхній та нижній півплощинах. Простір $H^{2}(\mathbb {R} )$ і його дуальний простір у точності складаються з функцій простору $L^{2}(\mathbb {R} )$, що зануляються перетвореннями Фур'є відповідно на від'ємній та додатній частинах дійсної осі. Оскільки перетворення Гільберта дорівнює оператору $\operatorname {H} =-{\rm {i}}(2P-\operatorname {I} )$, де $P$ — це ортогональна проекція з простору $L^{2}(\mathbb {R} )$ у простір $H^{2}(\mathbb {R} )$, $\operatorname {I}$ — тотожний оператор, то з цього випливає, що простір $H^{2}(\mathbb {R} )$ і його ортогональний простір є власними просторами оператора $\operatorname {H}$ для власних значень $\pm {\rm {i}}$. Іншими словами оператор $\operatorname {H}$ комутує з унітарним оператором $\operatorname {U} _{g}$. Обмеження операторів $\operatorname {U} _{g}$ на простір $H^{2}(\mathbb {R} )$ і його дуальний простір визначає незвідні представлення групи ${\rm {SL}}(2,\mathbb {R} )$ — так названа границя представлень дискретних рядів.

Див. також

• Простір Lp
• Співвідношення Крамерса-Кроніґа

Джерела

• Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.