Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перетворення Гільберта прямокутного сигнала.
Перетворення Гільберта — лінійне інтегральне перетворення , яке ставить у відповідність функції іншу функцію в тій самій області. Назване на честь Давида Гільберта , який сформулював його в свої роботах над задачею Рімана-Гільберта для голоморфних функцій . Використовується в галузі перетворень Фур'є та аналізу Фур'є . В обробці сигналів перетворення Гільберта перетворює дійсний сигнал на аналітичний.
Для дійсних змінних x та y та для дійсних або комплексних функцій f та g перетворення Гільберта визначається як:
g
(
y
)
=
H
{
f
(
y
)
}
=
1
π
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
y
−
x
d
x
{\displaystyle g(y)={\mathcal {H}}\left\{{f\left({y}\right)}\right\}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{y-x}}\mathrm {d} x}
Обернене перетворення Гільберта визначається як:
H
−
1
{
g
(
y
)
}
=
−
H
{
g
(
y
)
}
=
f
(
y
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}^{-1}\left\{{g\left({y}\right)}\right\}=-{\mathcal {H}}\left\{{g\left({y}\right)}\right\}=f(y)}
Приклади перетворення Гільберта [ ред. • ред. код ]
Сигнал
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)\,}
Перетворення Гільберта
H
(
u
)
(
t
)
{\displaystyle H(u)(t)\,}
sin
(
t
)
{\displaystyle \sin(t)\,}
−
cos
(
t
)
{\displaystyle -\cos(t)\,}
cos
(
t
)
{\displaystyle \cos(t)\,}
sin
(
t
)
{\displaystyle \sin(t)\,}
1
t
2
+
1
{\displaystyle 1 \over t^{2}+1}
t
t
2
+
1
{\displaystyle t \over t^{2}+1}
Функція sinc
sin
(
t
)
t
{\displaystyle \sin(t) \over t}
1
−
cos
(
t
)
t
{\displaystyle 1-\cos(t) \over t}
Прямокутна функція
⊓
(
t
)
{\displaystyle \sqcap (t)}
1
π
ln
|
t
+
1
2
t
−
1
2
|
{\displaystyle {1 \over \pi }\ln \left|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right|}
Дельта-функція Дірака
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta (t)\,}
1
π
t
{\displaystyle {1 \over \pi t}}
Характеристична функція
χ
[
a
,
b
]
(
x
)
{\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)\,}
1
π
ln
|
x
−
a
x
−
b
|
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {x-a}{x-b}}\right\vert \,}
Зв'язок з перетворенням Фур'є [ ред. • ред. код ] Перетворення Фур'є перетворення Гільберта дорівнює:
F
(
H
(
u
)
)
(
ω
)
=
(
−
i
sgn
(
ω
)
)
⋅
F
(
u
)
(
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {H}}(u))(\omega )=(-i\,\operatorname {sgn} (\omega ))\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega )\,}
де
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
перетворення Фур'є , а sgn це Signum-функція .
Згідно з формулою Ейлера ,
−
i
sgn
(
ω
)
=
{
i
=
e
+
i
π
/
2
,
for
ω
<
0
0
,
for
ω
=
0
−
i
=
e
−
i
π
/
2
.
for
ω
>
0.
{\displaystyle -i\,\operatorname {sgn} (\omega )\ \,\ =\ {\begin{cases}\ \ i=e^{+i\pi /2},&{\mbox{for }}\omega <0\\\ \ \ \ 0,&{\mbox{for }}\omega =0\\\ \ -i=e^{-i\pi /2}.&{\mbox{for }}\omega >0.\end{cases}}}
Отже H (u )(t ) здійснює зсув фази компонент негативної частоти u (t ) на +90° (π/2 радіан) та фази компонент позитивної частоти на −90°. При цьому i ·H (u )(t ) відновлює компоненти позитивної частоти та зсуває негативні на додаткові +90°, роблячи їх негативними.
Якщо перетворення Гільберта здійснюється двічі H (H (u )) = −u фаза компонентів негативної та позитивної частоти зсувається на +180° та −180°, відповідно. Сигнал стає негативним оскільки:
e
±
i
π
=
−
1.
{\displaystyle e^{\pm i\pi }=-1.}
Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.
![{\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd317d7a9191f79e73f44a3fd70565ad2f316eb)
