Перетворення Гільберта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Перетворення Гільберта прямокутного сигналу.

У математиці та при обробці сигналів перетворення Гільберта — специфічний лінійний оператор, який функцію дійсної змінної відображає в іншу функцію дійсної змінної . Такий лінійний оператор визначається згорткою з функцією (див.нижче п.Означення). Перетворення Гільберта має особливо просте представлення в частотній області: воно визначає фазовий зсув на ( радіан) для кожного частотного компоненту функції, при цьому знак зсуву залежить від знаку частоти (див.нижче п.Зв'язок з перетвореннями Фур'є). Перетворення Гільберта важливе для обробки сигналів, де воно є компонентою аналітичного представлення[en] дійснозначного сигналу . Перетворення Гільберта було вперше введено Давидом Гільбертом у такій постановці при розв'язанні частинного випадку задачі Рімана—Гільберта[en] для аналітичних функцій.

Означення[ред. | ред. код]

Перетворення Гільберта функції можна розглядати як згортку функції з функцією , відомою як ядро Коші. Оскільки функція неінтегрована в околі , то інтеграл, який визначає згортку, не завжди є збіжним. Замість цього, перетворення Гільберта визначається з використанням головного значення інтеграла за Коші (яке позначається тут як ). У явному вигляді, перетворення Гільберта функції (чи сигналу) визначається як

за умови, що цей інтеграл існує у сенсі головного значення. Це і є в точності згортка функції із помірним розподілом .[1] Також, за допомогою заміни змінних, головне значення інтеграла за Коші можна записати явно як [2]

Якщо перетворення Гільберта послідовно двічі застосувати до функції , то в результаті функція змінює знак:

за умови, що інтеграли в обох ітерації є збіжними у відповідному сенсі. Зокрема, оберненим перетворенням є . Цей факт найлегше побачити, розглянувши дію перетворення Гільберта на перетворення Фур'є функції (див. нижче Зв'язок з перетворенням Фур'є).

Для аналітичної функції у верхній півплощині, перетворення Гільберта описує зв'язок між дійсною та уявною частинами граничних значень. Тобто, якщо функція є аналітичною у верхній півплощині комплексної площини і , то з точністю до адитивної константи, за умови, що перетворення Гільберта існує.

Позначення[ред. | ред. код]

У теорії обробки сигналів перетворення Гільберта функції зазвичай позначають як .[3] Проте в математиці це позначення вже широко використовують для перетворення Фур'є функції . Інколи для перетворення Гільберта використовують позначення .[4] Крім того, багато джерел визначають перетворення Гільберта як від'ємне до одного з визначених тут.[5]

Історія[ред. | ред. код]

Перетворення Гільберта виникло у 1905 році в роботі Гільберта про проблему Рімана щодо аналітичних функцій,[6][7], яка стала відома як задача Рімана — Гільберта[en]. Робота Гільберта в основному стосується перетворення Гільберта для функцій, що визначені на колі.[8][9] Деякі з його попередніх робіт, що пов'язані з дискретним перетворенням Гільберта, базуються на лекціях, які він читав в Геттінгені. Ці результати пізніше були опубліковані у дисертації [10] Германа Вейля. Шур покращив результати Гільберта про дискретне перетворення Гільберта і розширив їх на інтегральний випадок.[11] Ці результати були послаблені для просторів та . В 1928 році Марсель Ріс[en] довів, що перетворення Гільберта можна визначити для функції у просторі при . Ріс також довів, що перетворення Гільберта є обмеженим оператором у просторі при , і, що аналогічні результати справедливі для перетворення Гільберта на колі, а також для дискретного перетворення Гільберта.[12] Перетворення Гільберта було мотиваційним прикладом для Антонія Зигмунда[en] та Альберта Кальдерона[en] при дослідженні синулярних інтегралів[en].[13] Ці дослідження зіграли фундаментальну роль в сучасному гармонійному аналізі. Різноманітні узагальнення перетворень Гільберта, такі як білінійне і трилінійне перетворення, і сьогодні залишаються активними областями досліджень.

Зв'язок з перетворенням Фур'є[ред. | ред. код]

Перетворення Гільберта — це оператор множення.[14] Множником оператора є , де — це функція знаку. Отже,

де — перетворення Фур'є.Оскільки , то цей результат можна використовувати для трьох загально відомих означень для перетворення Фур'є . Згідно з формулою Ейлера

Таким чином, перетворення Гільберта має ефект зсуву фази для компонент з від'ємною частотою функції на () і для компонент з додатною частотою — на , а має ефект відновлення компонент з додатною частотою при зсуві компонент з від'ємною частотою додатково на , що приводить у результаті до зміни знаку (тобто множення на ). Якщо перетворення Гільберта застосовується двічі, то фаза для компонент від'ємної та додатної частот функції відповідно зміщуються на та , які є еквівалентними сумами.Сигнал змінює знак, тобто , оскільки

Таблиця деяких перетворень Гільберта[ред. | ред. код]

У наступній таблиці, параметр частоти  — є дійсним.
Сигнал
Перетворення Гільберта
[fn 1]
[fn 2]
,[fn 2]
Функція sinc
Дельта-функція Дірака
Характеристична функція

Примітки

  1. Деякі автори (наприклад, Брейсвелл) використовують оператор , як означення прямого перетворення. Звідси випливає, що у правому стовпчик цієї таблиці необхідно змінити знак.
  2. а б Перетворення Гільберта для функцій синуса та косинуса можна визначити, взявши головне значення інтеграла на нескінченності. Таке означення узгоджується з дистрибутивністю означення перетворення Гільберта.

Доступна [15] достатньо велика таблиця перетворень Гільберта. Зауважимо, що перетворення Гільберта для константи дорівнює нулю

Область визначення[ред. | ред. код]

Зовсім не очевидно, що перетворення Гільберта взагалі є добре визначеним, оскільки відповідний невласний інтеграл має збігатися у відповідному сенсі. Проте перетворення Гільберта добре визначене для широкого класу функцій, а саме у просторі , .

Точніше, якщо функція з простору , , тоді границя, що визначає цей невласний інтеграл

існує для майже всіх . Границя функції також існує в просторі і фактично є границею в середньому для невласного інтеграла. А саме

у нормі при . Збіжність є поточковою майже всюди за теоремою Тітчмарша.[16]

У випадку перетворення Гільберта все ще збігається поточково майже всюди, але саме по собі може бути неінтегровним, навіть локально.[17] Зокрема, збіжність у середньому, у цьому випадку загалом негарантоване. Перетворення Гільберта для функції з є збіжним, але -слабкому сенсі, і перетворення Гільберта є обмеженим оператором з простору у простір .[18] (Зокрема, оскільки перетворення Гільберта також є оператором множення в просторі , то інтерполяційна теорема Марцинкевича та аргумент дуальності надають альтернативне доведення того, що оператор є обмеженим у просторі .)

Властивості[ред. | ред. код]

Обмеженість[ред. | ред. код]

Якщо , то перетворення Гільберта в просторі є обмеженим лінійним оператором, тобто існує константа така, що

для всіх .[19] Найкраще константа [19] визначається як [20]

Найпростіший спосіб знаходження найкращої константи для , яке є степенем , через так звану рівність Котлара

для всіх дійснозначних функцій . Ті самі найкращі константи мають місце для періодичного перетворення Гільберта.

З обмеженості перетворення Гільберта випливає збіжність симетричного оператора частинної суми

для функції з простору .[21]

Антисамоcпряженість[ред. | ред. код]

Перетворення Гільберта є антисамоспряженим[en] оператором відносно дуального утворення пар між простором та дуальним простором , де та спряжені за Гельдером і , . У символьній формі

для та .[22]

Обернене перетворення[ред. | ред. код]

Перетворення Гільберта є антиінволюцією[23], тобто

за умови, що кожне перетворення є добре визначеним. Оскільки оператор зберігає простір , то перетворення Гільберта є оборотне в просторі і

Структура над комплексною площиною[ред. | ред. код]

Оскільки (тотожний оператор у дійсному банаховому просторі дійснозначних функцій у просторі , то перетворення Гільберта визначає лінійну комплексну структуру[en] в банаховому просторі. Зокрема, при перетворення Гільберта надає гільбертовому простору дійснозначних функцій в просторі структуру \emph{комплексного} гільбертового простору.

Квантові стани (зокрема, комплексні) перетворення Гільберта допускають за теоремою Пелі—Вінера[en] представлення у вигляді голоморфних функцій у верхній та в нижній півплощинах у просторі Гарді [en].

Згортки[ред. | ред. код]

Перетворення Гільберта можна формально реалізувати як згортку з узагальненою функцією повільного росту[24]

Таким чином, формально можна записати

Однак, апріорі можна визначити лише для узагальненої функції з компактним носієм. З цим можна працювати дещо строгіше, оскільки функції з компактними носіями(які очевидно є узагальненими) є щільними в просторі . Як альтернативу можна використати той факт, що є узагальненою похідною від функції , а саме

Для більшості обчислювальних задач Перетворення Гільберта можна розглядати як згортку. Наприклад, у формальному сенсі перетворення Гільберта згортки — це згортка перетворення Гільберта, що застосована лише до одного з множників:

Це строго коректно, якщо і — це узагальнені функції з компактними носіями, оскільки в цьому випадку

Таким чином, переходячи до відповідної границі, з теореми Тічмарша [25] випливає також коректність для і за умови, що

Інваріантність[ред. | ред. код]

У просторі перетворення Гільберта має наступні інваріантні властивості:

  • Воно комутує зі зсувами, тобто з операторами для всіх .
  • Воно комутує з додатніми розтягами, тобто з операторами для всіх .
  • Воно антикомутує з віддзеркаленням . Таким чином, з точністю до мультиплікативної константи перетворення Гільберта — це єдиний обмежений оператор у просторі , який володіє вищезгаданими властовостями.[26] Насправді існує ширша множина операторів, що комутують з перетворенням Гільберта. Група дія якої у просторі за допомогою унітарних операторів визначається формулою

Унітарне представлення[en] — це приклад головного представлення ряду[en] групи .У цьому випадку унітарне представлення є звідним, розщепленим як ортогональна сума два інваріантних підпросторів: простору Гарді і його дуального простору. Це простори граничних значень голоморфних функцій на верхній та нижній півплощинах. Простір і його дуальний простір у точності складаються з функцій простору , що зануляються перетвореннями Фур'є відповідно на від'ємній та додатній частинах дійсної осі. Оскільки перетворення Гільберта дорівнює оператору , де — це ортогональна проекція з простору у простір , тотожний оператор, то з цього випливає, що простір і його ортогональний простір є власними просторами оператора для власних значень . Іншими словами оператор комутує з унітарним оператором . Обмеження операторів на простір і його дуальний простір визначає незвідні представлення групи — так названа границя представлень дискретних рядів[en].[27]

Див. також[ред. | ред. код]

Цитування[ред. | ред. код]

  1. due to Schwartz, 1950; see Pandey, 1996, Chapter 3.
  2. Zygmund, 1968, §XVI.1
  3. e.g., Brandwood, 2003, p. 87
  4. e.g., Stein & Weiss, 1971
  5. e.g., Bracewell, 2000, p. 359
  6. Kress, 1989.
  7. Bitsadze, 2001.
  8. Khvedelidze, 2001.
  9. Hilbert, 1953.
  10. Hardy, Littlewood та Pólya, 1952, §9.1.
  11. Hardy, Littlewood та Pólya, 1952, §9.2.
  12. Riesz, 1928.
  13. Calderón та Zygmund, 1952.
  14. Duoandikoetxea, 2000, Chapter 3.
  15. King, 2009b.
  16. Titchmarsh, 1948, Chapter 5.
  17. Titchmarsh, 1948, §5.14.
  18. Stein та Weiss, 1971, Lemma V.2.8.
  19. а б This theorem is due to Riesz, 1928, VII; see also Titchmarsh, 1948, Theorem 101.
  20. This result is due to Pichorides, 1972; see also Grafakos, 2004, Remark 4.1.8.
  21. Дивись, наприклад Duoandikoetxea, 2000, p. 59.
  22. Titchmarsh, 1948, Theorem 102.
  23. Titchmarsh, 1948, с. 120.
  24. Duistermaat та Kolk, 2010, с. 211.
  25. Titchmarsh, 1948, Theorem 104.
  26. Stein, 1970, §III.1.
  27. See Bargmann, 1947, Lang, 1985, and Sugiura, 1990.

Джерела[ред. | ред. код]

  • Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.