Перетворення Гільберта
У математиці та при обробці сигналів перетворення Гільберта — специфічний лінійний оператор, який функцію дійсної змінної відображає в іншу функцію дійсної змінної . Такий лінійний оператор визначається згорткою з функцією (див.нижче п.Означення). Перетворення Гільберта має особливо просте представлення в частотній області: воно визначає фазовий зсув на ( радіан) для кожного частотного компоненту функції, при цьому знак зсуву залежить від знаку частоти (див.нижче п.Зв'язок з перетвореннями Фур'є). Перетворення Гільберта важливе для обробки сигналів, де воно є компонентою аналітичного представлення[en] дійснозначного сигналу . Перетворення Гільберта було вперше введено Давидом Гільбертом у такій постановці при розв'язанні частинного випадку задачі Рімана—Гільберта[en] для аналітичних функцій.
Означення[ред. | ред. код]
Перетворення Гільберта функції можна розглядати як згортку функції з функцією , відомою як ядро Коші. Оскільки функція неінтегрована в околі , то інтеграл, який визначає згортку, не завжди є збіжним. Замість цього, перетворення Гільберта визначається з використанням головного значення інтеграла за Коші (яке позначається тут як ). У явному вигляді, перетворення Гільберта функції (чи сигналу) визначається як
за умови, що цей інтеграл існує у сенсі головного значення. Це і є в точності згортка функції із помірним розподілом .[1] Також, за допомогою заміни змінних, головне значення інтеграла за Коші можна записати явно як [2]
Якщо перетворення Гільберта послідовно двічі застосувати до функції , то в результаті функція змінює знак:
за умови, що інтеграли в обох ітерації є збіжними у відповідному сенсі. Зокрема, оберненим перетворенням є . Цей факт найлегше побачити, розглянувши дію перетворення Гільберта на перетворення Фур'є функції (див. нижче Зв'язок з перетворенням Фур'є).
Для аналітичної функції у верхній півплощині, перетворення Гільберта описує зв'язок між дійсною та уявною частинами граничних значень. Тобто, якщо функція є аналітичною у верхній півплощині комплексної площини і , то з точністю до адитивної константи, за умови, що перетворення Гільберта існує.
Позначення[ред. | ред. код]
У теорії обробки сигналів перетворення Гільберта функції зазвичай позначають як .[3] Проте в математиці це позначення вже широко використовують для перетворення Фур'є функції . Інколи для перетворення Гільберта використовують позначення .[4] Крім того, багато джерел визначають перетворення Гільберта як від'ємне до одного з визначених тут.[5]
Історія[ред. | ред. код]
Перетворення Гільберта виникло у 1905 році в роботі Гільберта про проблему Рімана щодо аналітичних функцій,[6][7], яка стала відома як задача Рімана — Гільберта[en]. Робота Гільберта в основному стосується перетворення Гільберта для функцій, що визначені на колі.[8][9] Деякі з його попередніх робіт, що пов'язані з дискретним перетворенням Гільберта, базуються на лекціях, які він читав в Геттінгені. Ці результати пізніше були опубліковані у дисертації [10] Германа Вейля. Шур покращив результати Гільберта про дискретне перетворення Гільберта і розширив їх на інтегральний випадок.[11] Ці результати були послаблені для просторів та . В 1928 році Марсель Ріс[en] довів, що перетворення Гільберта можна визначити для функції у просторі при . Ріс також довів, що перетворення Гільберта є обмеженим оператором у просторі при , і, що аналогічні результати справедливі для перетворення Гільберта на колі, а також для дискретного перетворення Гільберта.[12] Перетворення Гільберта було мотиваційним прикладом для Антонія Зигмунда[en] та Альберта Кальдерона[en] при дослідженні синулярних інтегралів[en].[13] Ці дослідження зіграли фундаментальну роль в сучасному гармонійному аналізі. Різноманітні узагальнення перетворень Гільберта, такі як білінійне і трилінійне перетворення, і сьогодні залишаються активними областями досліджень.
Зв'язок з перетворенням Фур'є[ред. | ред. код]
Перетворення Гільберта — це оператор множення.[14] Множником оператора є , де — це функція знаку. Отже,
де — перетворення Фур'є.Оскільки , то цей результат можна використовувати для трьох загально відомих означень для перетворення Фур'є . Згідно з формулою Ейлера
Таким чином, перетворення Гільберта має ефект зсуву фази для компонент з від'ємною частотою функції на () і для компонент з додатною частотою — на , а має ефект відновлення компонент з додатною частотою при зсуві компонент з від'ємною частотою додатково на , що приводить у результаті до зміни знаку (тобто множення на ). Якщо перетворення Гільберта застосовується двічі, то фаза для компонент від'ємної та додатної частот функції відповідно зміщуються на та , які є еквівалентними сумами.Сигнал змінює знак, тобто , оскільки
Таблиця деяких перетворень Гільберта[ред. | ред. код]
У наступній таблиці, параметр частоти — є дійсним.
Сигнал |
Перетворення Гільберта [fn 1] |
---|---|
[fn 2] | |
,[fn 2] | |
Функція sinc |
|
Дельта-функція Дірака |
|
Характеристична функція |
Примітки
- ↑ Деякі автори (наприклад, Брейсвелл) використовують оператор , як означення прямого перетворення. Звідси випливає, що у правому стовпчик цієї таблиці необхідно змінити знак.
- ↑ а б Перетворення Гільберта для функцій синуса та косинуса можна визначити, взявши головне значення інтеграла на нескінченності. Таке означення узгоджується з дистрибутивністю означення перетворення Гільберта.
Доступна [15] достатньо велика таблиця перетворень Гільберта. Зауважимо, що перетворення Гільберта для константи дорівнює нулю
Область визначення[ред. | ред. код]
Зовсім не очевидно, що перетворення Гільберта взагалі є добре визначеним, оскільки відповідний невласний інтеграл має збігатися у відповідному сенсі. Проте перетворення Гільберта добре визначене для широкого класу функцій, а саме у просторі , .
Точніше, якщо функція з простору , , тоді границя, що визначає цей невласний інтеграл
існує для майже всіх . Границя функції також існує в просторі і фактично є границею в середньому для невласного інтеграла. А саме
у нормі при . Збіжність є поточковою майже всюди за теоремою Тітчмарша.[16]
У випадку перетворення Гільберта все ще збігається поточково майже всюди, але саме по собі може бути неінтегровним, навіть локально.[17] Зокрема, збіжність у середньому, у цьому випадку загалом негарантоване. Перетворення Гільберта для функції з є збіжним, але -слабкому сенсі, і перетворення Гільберта є обмеженим оператором з простору у простір .[18] (Зокрема, оскільки перетворення Гільберта також є оператором множення в просторі , то інтерполяційна теорема Марцинкевича та аргумент дуальності надають альтернативне доведення того, що оператор є обмеженим у просторі .)
Властивості[ред. | ред. код]
Обмеженість[ред. | ред. код]
Якщо , то перетворення Гільберта в просторі є обмеженим лінійним оператором, тобто існує константа така, що
для всіх .[19] Найкраще константа [19] визначається як [20]
Найпростіший спосіб знаходження найкращої константи для , яке є степенем , через так звану рівність Котлара
для всіх дійснозначних функцій . Ті самі найкращі константи мають місце для періодичного перетворення Гільберта.
З обмеженості перетворення Гільберта випливає збіжність симетричного оператора частинної суми
для функції з простору .[21]
Антисамоcпряженість[ред. | ред. код]
Перетворення Гільберта є антисамоспряженим[en] оператором відносно дуального утворення пар між простором та дуальним простором , де та — спряжені за Гельдером і , . У символьній формі
для та .[22]
Обернене перетворення[ред. | ред. код]
Перетворення Гільберта є антиінволюцією[23], тобто
за умови, що кожне перетворення є добре визначеним. Оскільки оператор зберігає простір , то перетворення Гільберта є оборотне в просторі і
Структура над комплексною площиною[ред. | ред. код]
Оскільки ( — тотожний оператор у дійсному банаховому просторі дійснозначних функцій у просторі , то перетворення Гільберта визначає лінійну комплексну структуру[en] в банаховому просторі. Зокрема, при перетворення Гільберта надає гільбертовому простору дійснозначних функцій в просторі структуру \emph{комплексного} гільбертового простору.
Квантові стани (зокрема, комплексні) перетворення Гільберта допускають за теоремою Пелі—Вінера[en] представлення у вигляді голоморфних функцій у верхній та в нижній півплощинах у просторі Гарді [en].
Згортки[ред. | ред. код]
Перетворення Гільберта можна формально реалізувати як згортку з узагальненою функцією повільного росту[24]
Таким чином, формально можна записати
Однак, апріорі можна визначити лише для узагальненої функції з компактним носієм. З цим можна працювати дещо строгіше, оскільки функції з компактними носіями(які очевидно є узагальненими) є щільними в просторі . Як альтернативу можна використати той факт, що є узагальненою похідною від функції , а саме
Для більшості обчислювальних задач Перетворення Гільберта можна розглядати як згортку. Наприклад, у формальному сенсі перетворення Гільберта згортки — це згортка перетворення Гільберта, що застосована лише до одного з множників:
Це строго коректно, якщо і — це узагальнені функції з компактними носіями, оскільки в цьому випадку
Таким чином, переходячи до відповідної границі, з теореми Тічмарша [25] випливає також коректність для і за умови, що
Інваріантність[ред. | ред. код]
У просторі перетворення Гільберта має наступні інваріантні властивості:
- Воно комутує зі зсувами, тобто з операторами для всіх .
- Воно комутує з додатніми розтягами, тобто з операторами для всіх .
- Воно антикомутує з віддзеркаленням . Таким чином, з точністю до мультиплікативної константи перетворення Гільберта — це єдиний обмежений оператор у просторі , який володіє вищезгаданими властовостями.[26] Насправді існує ширша множина операторів, що комутують з перетворенням Гільберта. Група дія якої у просторі за допомогою унітарних операторів визначається формулою
Унітарне представлення[en] — це приклад головного представлення ряду[en] групи .У цьому випадку унітарне представлення є звідним, розщепленим як ортогональна сума два інваріантних підпросторів: простору Гарді і його дуального простору. Це простори граничних значень голоморфних функцій на верхній та нижній півплощинах. Простір і його дуальний простір у точності складаються з функцій простору , що зануляються перетвореннями Фур'є відповідно на від'ємній та додатній частинах дійсної осі. Оскільки перетворення Гільберта дорівнює оператору , де — це ортогональна проекція з простору у простір , — тотожний оператор, то з цього випливає, що простір і його ортогональний простір є власними просторами оператора для власних значень . Іншими словами оператор комутує з унітарним оператором . Обмеження операторів на простір і його дуальний простір визначає незвідні представлення групи — так названа границя представлень дискретних рядів[en].[27]
Див. також[ред. | ред. код]
Цитування[ред. | ред. код]
- ↑ due to Schwartz, 1950; see Pandey, 1996, Chapter 3.
- ↑ Zygmund, 1968, §XVI.1
- ↑ e.g., Brandwood, 2003, p. 87
- ↑ e.g., Stein & Weiss, 1971
- ↑ e.g., Bracewell, 2000, p. 359
- ↑ Kress, 1989.
- ↑ Bitsadze, 2001.
- ↑ Khvedelidze, 2001.
- ↑ Hilbert, 1953.
- ↑ Hardy, Littlewood та Pólya, 1952, §9.1.
- ↑ Hardy, Littlewood та Pólya, 1952, §9.2.
- ↑ Riesz, 1928.
- ↑ Calderón та Zygmund, 1952.
- ↑ Duoandikoetxea, 2000, Chapter 3.
- ↑ King, 2009b.
- ↑ Titchmarsh, 1948, Chapter 5.
- ↑ Titchmarsh, 1948, §5.14.
- ↑ Stein та Weiss, 1971, Lemma V.2.8.
- ↑ а б This theorem is due to Riesz, 1928, VII; see also Titchmarsh, 1948, Theorem 101.
- ↑ This result is due to Pichorides, 1972; see also Grafakos, 2004, Remark 4.1.8.
- ↑ Дивись, наприклад Duoandikoetxea, 2000, p. 59.
- ↑ Titchmarsh, 1948, Theorem 102.
- ↑ Titchmarsh, 1948, с. 120.
- ↑ Duistermaat та Kolk, 2010, с. 211.
- ↑ Titchmarsh, 1948, Theorem 104.
- ↑ Stein, 1970, §III.1.
- ↑ See Bargmann, 1947, Lang, 1985, and Sugiura, 1990.
Джерела[ред. | ред. код]
- Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
![]() | Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. (жовтень 2017) |