Дотичний простір Зариського

Дотичний простір Зариського — загальне означення в алгебраїчній геометрії, що дозволяє узагальнити дотичний простір в точці алгебраїчного многовида на більш абстрактні об'єкти, зокрема квазіпроективні многовиди, абстрактні алгебричні многовиди і схеми. Дотичні простори Зариського визначені на довільних локальних кільцях і для їх означення використовуються не методи диференціальної геометрії, а тільки методи абстрактної, і, в більш конкретних ситуаціях, лінійної алгебри.

Дотичні простори афіниих многовидів і мотивація загального означення

Дотичний простір в точці x афінного многовида X можна означити як сукупність прямих, що проходять через x і є дотичними до $X\subset A^{n}.$ На афінному просторі $A^{n}$ можна ввести координати так, що точка x буде на початку координат. Тоді рівняння прямих, що проходять через x = 0 можна записати як $L=\{ta,\;\;t\in K\},$ де K алгебрично замкнуте поле над яким визначені всі простори і многовиди, а $a\in A^{n}$ — деяка точка афінного простору, яка визначає дану пряму.

Нехай X заданий системою рівнянь $F_{1}=...=F_{m}=0,$ де многочлени у цих рівняннях породжують ідеал многовида X.

Множина перетинів прямої L з многовидом X визначиться тоді рівняннями $F_{1}(ta)=...=F_{m}(ta)=0.$ Значення параметра t, що визначають точки перетину прямої з многовидом є коренями найбільшого спільного дільника $F_{1}(ta),...,F_{m}(ta)$ як многочленів від t. Згідно з означень t = 0 є одним з коренів.

Пряма L називається дотичною до многовида X, якщо кратність кореня t = 0 у попередніх рівняннях є більшою 1. Множина всіх точок $y\in A^{n},$ що належать деяким дотичним прямим до точки x називається дотичним простором до многовида X у точці x.

Дотичний простір можна описати також через систему лінійних рівнянь. Для цього треба ввести оператор $\operatorname {d} _{x}\!F=\sum _{i=1}^{n}{\partial F \over \partial T_{i}}(x)(T_{i}-x_{i})$, який є оператором диференціювання, що кожному многочлену від змінних $T_{i}$ присвоює лінійну частину розкладу в ряд Тейлора в точці $x=(x_{1},...,x_{n}).$ Тоді з означень дотичного простору в точці x, легко отримати, що цей простір є множиною точок $y\in A^{n},$ що задовольняють систему рівнянь:

$\operatorname {d} _{x}\!F_{1}(y)=...=\operatorname {d} _{x}\!F_{m}(y)=0.$

Для довільного многочлена $\operatorname {d} _{x}F$ можна вважати лінійною формою на $A^{n}$. Окрім того, якщо многочлен $F$ належить ідеалу, що задає многовид X, то, як неважко перевірити, значення $\operatorname {d} _{x}F$ на всіх точках дотичного простору до многовида X у точці x є рівним нулю. Тому $\operatorname {d} _{x}$ задає відображення з кільця $K[X]$ (координатного кільця) многовида X у множину всіх лінійних форм на дотичному просторі у точці x. Окрім того це відображення можна обмежити на максимальний ідеал ${\mathfrak {m}}$ — множину всіх елементів $K[X]$, що не рівні 0 в точці x. Це відображення буде сюр'єктивним і його ядро складатиметься з елементів, запис яких в ряд Тейлора не матиме лінійних доданків. Всі такі елементи, очевидно, містяться в ідеалі ${\mathfrak {m}}^{2}$ і тому $\operatorname {d} _{x}$ визначає ізоморфізм між ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ і множиною лінійних форм на дотичному просторі (тобто кодотичним простором). Це дозволяє ввести поняття дотичного і кодотичного просторів інваріантно лише в алгебричних термінах за допомогою простору ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$.

Окрім того якщо $R:=K[X]_{\mathfrak {m}}$ — локалізація кільця $K[X]$ по максимальному ідеалу ${\mathfrak {m}}$ і ${\bar {\mathfrak {m}}}={\mathfrak {m}}K[X]_{\mathfrak {m}}$ — максимальний ідеал кільця R, то узагальнивши оператор диференціювання як $\operatorname {d} _{x}\left({F \over G}\right)={G(x)\operatorname {d} _{x}F-F(x)\operatorname {d} _{x}G \over G^{2}(x)},\quad G(x)\neq 0,$ теж отримуємо ізоморфізм між ${\bar {\mathfrak {m}}}/{\bar {\mathfrak {m}}}^{2}$ і кодотичним простором. Відповідно кодотичний простір можна ідентифікувати з ${\bar {\mathfrak {m}}}/{\bar {\mathfrak {m}}}^{2}$ і узагальнити це означення для більш широкого класу об'єктів. Саме такі означення дотичного простору і дав Оскар Зариський.

Означення

Кодотичний простір локального кільця $R$ з максимальним ідеалом m за означенням є векторним простором

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

де m² — добуток ідеалів. Кодотичний простір є векторним простором над полем $k=R/{\mathfrak {m}}$. Векторний простір, двоїстий до нього, називається дотичним простором R.

Дотичні і кодотичні простори кільця $R$ позначаються $\Theta _{R}$ і $\Theta _{R}^{*}$ відповідно.

Морфізми дотичних і кодотичних просторів

Якщо $R,S$ — локальні нетерові кільця з максимальними ідеалами ${\mathfrak {m}},{\mathfrak {n}}$ і $\varphi :R\to S$ — локальний гомоморфізм кілець (тобто $\varphi ({\mathfrak {m}})\subset {\mathfrak {n}}$), то цей гомоморфізм породжує гомоморфізм полів ${\bar {\varphi }}:R/{\mathfrak {m}}\to S/{\mathfrak {n}}$ і гомоморфізм кодотичних просторів $\operatorname {d} ^{*}\varphi :\Theta _{R}^{*}\to \Theta _{S}^{*}.$ Якщо також ${\bar {\varphi }}$ є ізоморфізмом полів, то також він породжує гомоморфізм дотичних просторів $\operatorname {d} \varphi :\Theta _{S}\to \Theta _{R}.$

Зокрема гомоморфізм дотичних просторів є визначеним, якщо $R,S$ — локальні кільця в точках алгебричних многовидів і гомоморфізм між ними породжується морфізмом $f$ відповідних алгебричних многовидів, що переводить одну точку в іншу. Тоді морфізми дотичних і кодотичних просторів в точці p також позначаються $\operatorname {d} _{p}f$ і $\operatorname {d} _{p}^{*}f.$

Означення за допомогою диференцівань

Якщо кільце $R$ містить підполе представників поля $k=R/{\mathfrak {m}}$, тобто підполе $k'\subset R,$ таке що $k=\{\lambda +{\mathfrak {m}}\;|\;\lambda \in k'\}$, то ототожнюючи $k$ і $k'$ можна записати, що $R=k\oplus {\mathfrak {m}}$, тобто кожен елемент $a\in R$ може бути однозначно записаним як $a=a_{1}+m_{a},\quad a_{1}\in k,\;m_{a}\in {\mathfrak {m}}.$

Якщо позначити $\operatorname {d} a$ клас елемента $m_{a}$ у кодотичному просторі ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},$ то відображення $\operatorname {d}$ є диференціальним оператором, тобто задовольняє умови $\operatorname {d} (a+b)=\operatorname {d} a+\operatorname {d} b,\quad \operatorname {d} (\lambda a)=\lambda \operatorname {d} a,\;\;\lambda \in k$ і $\operatorname {d} (ab)=\operatorname {d} (a)b+a\operatorname {d} (b).$

Оскільки елементи дотичного простору можна інтерпретувати як лінійні форми на кодотичному просторі то для $\nu \in \Theta _{R}$ відображення $D_{\nu }:a\to \nu (\operatorname {da} )$є диференціюванням з кільця $R$ в поле $k$. До того ж кожне диференціювання з кільця $R$ в поле $k$ породжується деяким елементом дотичного простору і до того ж тільки одним. Таким чином елементи дтичного простору можна ідентифікувати з диференціюваннями з кільця $R$ в поле $k$, тобто для цього випадку дати еквівалентне означення дотичного простору:

Якщо кільце $R$ містить підполе представників поля $k=R/{\mathfrak {m}}$ то дотичний простір за означенням це множина усіх диференціювань з кільця $R$ в поле $k$.

Дотичний простір до схеми в точці

Дотичний простір $T_{P}(X)$ і кодотичний простір $T_{P}^{*}(X)$ до схеми x в точці P це (ко)дотичний простір локального кільця ${\mathcal {O}}_{X,P}$. Завдяки функторіальності Spec, природне відображення факторизації $f:R\rightarrow R/I$ індукує гомоморфізм $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$, де x = Spec(R), P — точка Y = Spec(R/I). Цей гомоморфізм часто використовують для вкладення $T_{P}(Y)$ в $T_{f^{-1}P}(X)$ (наприклад , дотичний простір многовида, вкладеного в афінний простір, природним чином вкладається в дотичний простір афінного простору). Так як морфізм полів є ін'єктивним, сюр'єкція полів часток, індукована g, є ізоморфізмом. Таким чином, g індукує морфізм k дотичних просторів, оскільки

${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$

$\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)$

$\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)$

$\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).$

Так як k є сюр'єктивним (є гомоморфізмом факторизації), то двоїсте лінійне відображення $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$ ін'єкцією (є вкладенням).

Аналітичний випадок

Якщо V — підмноговид n-вимірного векторного простору, заданий ідеалом I (ідеалом функцій, рівних нулю на цьому многовиді), кільцю R відповідає кільце F_n/I, де F_n — кільце ростків гладких/аналітичних/голоморфних функцій на векторному просторі, I — ростки функцій з ідеалу. Тоді дотичний простір Зариського в точці x —

${\mathfrak {m}}_{x}/(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}),$

де ${\mathfrak {m}}_{x}$ — ідеал функцій відповідного типу, рівних нулю в точці x.

Властивості

Якщо R — нетерове локальне кільце, розмірність дотичного простору не менша розмірності R:

$\mathrm {dim} \;{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geqslant \mathrm {dim} \;R.$

R називається регулярним кільцем, якщо виконується рівність. Якщо локальне кільце многовида V в точці x є регулярним, кажуть, що x — регулярна точка многовида. В іншому випадку x називається особливою точкою.

Існує інтерпретація дотичного простору за допомогою гомоморфізмів в кільце дуальних чисел $k[t]/(t^{2}).$ Мовою схем, морфізм з Spec k[t]/t² в схему x над k відповідає вибору раціональної точки x ∈ X(k) (точки з координатами з поля k) і елемента дотичного простору в точці x. Таким чином, ці морфізми має сенс називати дотичними векторами .

Література

• David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — т.1-2, Москва: Наука, 1988. (рос.)

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії [Архівовано 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
• Zariski tangent space [Архівовано 5 грудня 2014 у Wayback Machine.]. V.I. Danilov, Encyclopedia of Mathematics.