Конформна група

Конформна група простору — це група перетворень простору в себе зі збереженням кутів. Формальніше, це група перетворень, що зберігає конформну геометрію простору.

Деякі конкретні конформні групи особливо важливі:

• Конформна ортогональна група. Якщо V — векторний простір з квадратичною формоюа Q, то конформна ортогональна група $\mathrm {CO} (V,Q)$ є групою лінійних перетворень T простору V, таких що для кожного x із V існує скаляр $\lambda$, такий що

  $Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)$

  Для знаковизначеної квадратичної форми (тобто або додатно визначеної, або від'ємно визначеної) конформна ортогональна група дорівнює ортогональній групі, помноженій на групу розтягів.

• Конформна група сфери, породжена інверсіями відносно кіл. Ця група відома також як група Мебіуса.
• У евклідовому просторі $\mathbf {E} ^{n}$, n > 2, конформна група породжується інверсіями відносно гіперсфер.
• У псевдоевклідовому просторі $\mathbf {E} ^{p,q}$ конформною групою є $\mathrm {Conf} (p,q)\simeq \mathrm {O} (p+1,q+1)/\mathbb {Z} _{2}$.

Всі конформні групи є групами Лі.

Аналіз кутів

У евклідовій геометрії можна очікувати, що характеристикою буде стандартний кут, але в псевдоевклідовому просторі існує також гіперболічний кут. У спеціальній теорії відносності різні точки відліку зміни швидкості відносно інших точок відліку, пов'язані з бистротою, гіперболічним кутом. Один зі способів описати лоренців буст — гіперболічне обертання, яке зберігає різницю кутів між швидкостями. Таким чином, вони є конформними перетвореннями відносно гіперболічних кутів.

Один з підходів до опису відповідної конформної групи — імітація групи Мебіуса як конформної групи звичайної комплексної площини. Псевдоевклідова геометрія відповідає альтернативним комплексними площинами, де, замість звичайних комплексних чисел, точками є спліт-комплексні числа або подвійні числа. Як для повного опису групи Мебіуса потрібна сфера Рімана, компактний простір, так само альтернативні комплексні площини вимагають для повного опису компактифікації конформного відображення. У кожному з випадків конформна група задається дробово-лінійними перетвореннями на відповідній площині.

Конформна група простору-часу

1908 року Гаррі Бейтмен і Ебенезер Кеннінгем, двоє молодих дослідників із Ліверпульського університету, оголосили ідею конформної групи простору-часу (тепер зазвичай позначається як $C(1,3)$). Вони стверджували, що кінематичні групи конформні, оскільки вони зберігають квадратичну форму простору-часу і тим самим споріднені ортогональними перетвореннями, що розглядається як ізотропна квадратична форма. Свободи електромагнітного поля не поширюються на кінематичні рухи, а вимагають тільки бути локально пропорційними перетворенням, які зберігають квадратичну форму. У статті 1910 року Гаррі Бейтмен вивчає матрицю Якобі перетворення, яке зберігає світловий конус, і показує, що перетворення має властивість конформності. Бейтмен і Кеннінгем показали, що ця конформна група є «найбільшою групою перетворень, які залишають рівняння Максвелла структурно інваріантними».

Ісаак Яглом зробив внесок у математику простору-часу, розглянувши конформні перетворення в подвійних числах. Оскільки подвійні числа мають властивості кільця, але не поля, дробово-лінійні перетворення вимагають від проєктивної прямої над кільцем бути бієктивним відображенням.

Традиційно, як у статті Людвіка Зільберштейна (1914), для подання групи Лоренца використовується кільце бікватерніонів. Для конформної групи простору-часу достатньо розглядати дробово-лінійні перетворення на проєктивній прямій над цим кільцем. Елементи конформної групи простору-часу Бейтменом назвав сферичним перетворенням хвилі. Конкретне вивчення квадратичної форми простору-часу увібрала в себе сферична геометрія Лі.

Література

• Jayme Vaz Jr., Roldão da Rocha Jr. An Introduction to Clifford Algebras and Spinors. — Oxford University Press, 2016. — С. 140. — ISBN 9780191085789.
• Tsurusaburo Takasu. Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometri // [1] — 1941. — Т. 17. Архівовано з джерела 16 червня 2020
• Harry Bateman. The Conformal Transformations of a Space of Four Dimensions and their Applications to Geometrical Optics // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1908. — Т. 7 (5 листопада). — DOI:10.1112/plms/s2-7.1.70.
• Harry Bateman. The Transformation of the Electrodynamical Equations // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1910. — Т. 8 (5 листопада). — DOI:10.1112/plms/s2-8.1.223.
• Ebenezer Cunningham. The principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension Thereof // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1910. — Т. 8 (5 листопада). — С. 77–98. — DOI:10.1112/plms/s2-8.1.77.
• Косяков Б.П. Введение в классическую теорию частиц полей. — Москва, Ижевск, 2017. — ISBN 978-5-4344-0450-1.
• Andrew Warwick. Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics. — Chicago : University of Chicago Press, 2003. — ISBN 0-226-87375-7.
• Robert Gilmore. Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications. — Robert E. Krieger Publishing, 1994. — ISBN 0-89464-759-8. Перше видання 1974
• Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. — Москва : «Наука», 1969. — (Библиотека математического кружка)

Література для подальшого читання

• Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. — «Наука», 1986.
• Sharpe R.W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. — New York : Springer-Verlag, 1997. — ISBN 0-387-94732-9.
• Peter Scherk. Some Concepts of Conformal Geometry // American Mathematical Monthly. — 1960. — Т. 67, вип. 1 (5 листопада). — С. 1−30. — DOI:10.2307/2308920.