Картина Шредінгера

Картина Шредінгера — один із способів опису квантовомеханічних явищ, запропонований Ервіном Шредінгером у 1926 році. За Шредінгером залежність від часу закладена до хвильової функції, а оператори фізичних величин залишаються сталими.

Оператор еволюції

Еволюція системи визначається унітарним оператором — оператором еволюції $U(t,t_{0})$, що описує зміну системи між початком відліку часу $t_{0}$ і кінцевим моментом часу $t$. Оператор еволюції діє на хвильову функцію таким чином:

$|\psi _{S}(t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle ,$

$\langle \psi _{S}(t)|=\langle \psi (t_{0})|{\hat {U}}^{\dagger }(t,t_{0}).$

Відповідно, оператор фізичної величини не змінюється в часі:

${\hat {A}}_{S}(t)={\hat {A}}_{S}(t_{0}).$

Рівняння Шредінгера

Якщо вважати, що початок відліку часу $t_{0}=0$, можна записати рівняння Шредінгера таким чином:

$i\hbar {\frac {\partial \left|\psi _{S}(t)\right\rangle }{\partial t}}={\hat {H}}\left|\psi _{S}(t)\right\rangle .$

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{\hat {U}}(t)\left|\psi (0)\right\rangle ={\hat {H}}{\hat {U}}(t)\left|\psi (0)\right\rangle .$

Оскільки хвильова функція $\left|\psi (0)\right\rangle$ є сталою, то її можна відкинути з рівняння:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{\hat {U}}(t)={\hat {H}}{\hat {U}}(t).$

Таким чином, якщо гамільтоніан ${\hat {H}}$ не залежить від часу, то оператор еволюції визначається так:

${\hat {U}}(t)=e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}.$

Отже, зміна хвильової функції в часі визначатиметься таким чином:

$|\psi _{S}(t)\rangle =e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}|\psi (0)\rangle .$

Якщо хвильова функція $|\psi (0)\rangle$ задовольняє стаціонарне рівняння Шредінгера, тобто є власним станом гамільтоніана ${\hat {H}}$ із власним значенням $E$, то оператор еволюції можна переписати через енергії $E$, тоді:

$|\psi _{S}(t)\rangle =e^{-{\frac {iEt}{\hbar }}}|\psi (0)\rangle .$

Таким чином, власні стани гамільтоніана — це стаціонарні стани, в яких система має певне значення енергії, а зміна системи в часі проявляється лише в зміні фази хвильової функції.

Див. також

• Картина взаємодії
• Картина Гейзенберга

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М. : Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.