Картина Шредінгера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Картина Шредінгера — один із способів опису квантовомеханічних явищ, запропонований Ервіном Шредінгером у 1926 році. За Шредінгером залежність від часу закладена до хвильової функції, а оператори фізичних величин залишаються сталими.

Оператор еволюції[ред.ред. код]

Еволюція системи визначається унітарним оператором — оператором еволюції U(t,t_0), що описує зміну системи між початком відліку часу t_0 і кінцевим моментом часу t. Оператор еволюції діє на хвильову функцію наступним чином:

|\psi_S(t)\rangle = \hat{U}(t,t_0) |\psi(t_0)\rangle,
\langle\psi_S(t)| = \langle\psi(t_0)| \hat{U}^{\dagger}(t,t_0).

Відповідно, оператор фізичної величини не змінюється в часі:

\hat{A}_S(t)=\hat{A}_S(t_0).

Рівняння Шредінгера[ред.ред. код]

Якщо вважати, що початок відліку часу t_0 = 0, можна записати рівняння Шредінгера наступним чином:

i\hbar\frac{\partial \left| \psi_S(t) \right\rangle}{\partial t}=\hat{H}\left| \psi_S(t) \right\rangle.
i\hbar\frac{d}{dt} \hat{U}(t) \left| \psi(0) \right\rangle = \hat{H} \hat{U}(t)\left| \psi(0) \right\rangle.

Оскільки хвильова функція \left| \psi(0) \right\rangle є сталою, то її можна відкинути з рівняння:

i\hbar\frac{d}{dt} \hat{U}(t) = \hat{H} \hat{U}(t).

Таким чином, якщо гамільтоніан \hat{H} не залежить від часу, то оператор еволюції визначається так:

\hat{U}(t) = e^{-\frac{i \hat{H} t}{\hbar}}.

Отже, зміна хвильової функції в часі визначатиметься наступним чином:

|\psi_S(t)\rangle = e^{-\frac{i \hat{H} t}{\hbar}} |\psi(0)\rangle.

Якщо хвильова функція |\psi(0)\rangle задовольняє стаціонарне рівняння Шредінгера, тобто є власним станом гамільтоніану \hat{H} із власним значенням E, то оператор еволюції можна переписати через енергії E, тоді:

|\psi_S(t)\rangle = e^{-\frac{iEt}{\hbar}} |\psi(0)\rangle.

Таким чином, власні стани гамільтоніану — це стаціонарні стані, в яких система має певне значення енергії, а зміна системи в часі проявляється лише в зміні фази хвильової функції.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.