Надскладене число

Перші чотири надскладені числа: 1, 2, 4, 6 і їх розкладання на дільники

Надскладене число — натуральне число з більшою кількістю дільників, ніж у будь-якого меншого натурального числа.

Історія

Термін запропонував Рамануджан 1915 року. Однак Жан-П'єр Кагане розглядав їх раніше, і, можливо, вони були відомі вже Платону, який описав число 5040 як ідеальну кількість громадян міста, оскільки 5040 має більше дільників, ніж будь-яке менше число.

Приклади

У таблиці наведено перші 38 надскладених чисел (послідовність A002182 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Номер	Надскладене	Розклад на прості	Кількість дільників	Розклад на прайморіали
1	1		1
2	2	$2$	2	$2$
3	4	$2^{2}$	3	$2^{2}$
4	6	$2\cdot 3$	4	$6$
5	12	$2^{2}\cdot 3$	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^{3}\cdot 3$	8	$2^{2}\cdot 6$
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	9	$6^{2}$
8	48	$2^{4}\cdot 3$	10	$2^{3}\cdot 6$
9	60	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	12	$2\cdot 30$
10	120	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	16	$2^{2}\cdot 30$
11	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	18	$6\cdot 30$
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	20	$2^{3}\cdot 30$
13	360	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	24	$2\cdot 6\cdot 30$
14	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	30	$2^{2}\cdot 6\cdot 30$
15	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	32	$2^{2}\cdot 210$
16	1260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	40	$2^{3}\cdot 210$
18	2520	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19	5040	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	60	$2^{2}\cdot 6\cdot 210$
20	7560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	64	$6^{2}\cdot 210$
21	10080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	80	$2\cdot 6^{2}\cdot 210$
23	20160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	90	$2^{2}\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	100	$6^{3}\cdot 210$
27	50400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	108	$2^{3}\cdot 30\cdot 210$
28	55440	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	120	$2^{2}\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	128	$6^{2}\cdot 2310$
30	110880	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	144	$2^{3}\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	160	$2\cdot 6^{2}\cdot 2310$
32	221760	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	168	$2^{4}\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	180	$2^{2}\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	192	$2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
35	498960	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	200	$6^{3}\cdot 2310$
36	554400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	216	$2^{3}\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	224	$2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
38	720720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	240	$2^{2}\cdot 6\cdot 30030$

Розклад на прості

У розкладанні надскладених чисел беруть участь найменші прості множники, і при цьому не надто багато однакових.

За основною теоремою арифметики кожне натуральне число $n$ має єдиний розклад на прості:

$n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)$

де $p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}$ прості, і показники $c_{i}$ додатні цілі числа. Кількість дільників $d(n)$ числа $n$ можна виразити так:

$d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)$

Таким чином, для надскладеного числа $n$ виконується таке:

• Числа $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ є першими $k$ простими числами.
• Послідовність степенів повинна бути незростаюча, тобто $c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}$ .
  • Ця властивість рівнозначна тому, що надскладене число є добутком прайморіалів.
• За винятком двох особливих випадків n = 4 та N = 36, останній степінь $c_{k}$ дорівнює одиниці.

Зокрема тільки 1, 4 і 36 є надскладеними квадратами.

Хоча описані вище умови є необхідними, вони не є достатніми. Наприклад, 96 = 2 ⁵ × 3 задовольняє всім перерахованим вище умовам і має 12 дільників, але не є надскладеним, оскільки існує менше число 60, яке має таку саму кількість дільників.

Асимптотичне зростання і щільність

Існують сталі a і b, обидві більші, ніж 1, такі, що

$\ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b},$

де $Q(x)$ позначає кількість надскладених чисел менших або рівних $x$ .

Першу частину нерівності довів Пал Ердеш 1944 року; другу довів Жан-Луї Ніколя 1988 року.

$1{,}13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1{,}44$

і

$\limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1{,}71.$

Властивості

• Всі надскладені числа, більші від 6, є надлишковими.
• Не всі надскладені числа є числами харшад за основою 10;
  • перший контрприклад це 245 044 800: це число має суму цифр 27, але на 27 не ділиться.

Див. також

• Високототієнтне число
• Таблиця дільників
• Функція Ейлера

Джерела

• Ramanujan, S. Highly composite numbers : [] // Proc. London Math. Soc. (2). — 1915. — Т. 14. — С. 347—409. — DOI:10.1112/plms/s2_14.1.347. (online)
• Handbook of number theory I : []. — Dordrecht : Springer-Verlag, 2006. — С. 45—46. — ISBN 1-4020-4215-9.
• Erdös, P. On highly composite numbers : [] // Лондонське математичне товариство. — 1944. — Т. 19. — С. 130—133. — DOI:10.1112/jlms/19.75_part_3.130.
• Alaoglu, L. On highly composite and similar numbers : [англ.] // Transactions of the American Mathematical Society. — 1944. — Vol. 56, № 3. — С. 448—469. — DOI:10.2307/1990319.
• Ramanujan, Srinivasa. Highly composite numbers : [англ.] // Ramanujan Journal : journal. — 1997. — Vol. 1, № 2. — С. 119—153. — DOI:10.1023/A:1009764017495. Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.

Посилання

• Алгоритм обчислення надзвичайно складених чисел
• Перші 10000 надзвичайно складених чисел в якості факторів
• Flammenkamp Ахім, перший 779674 ГКН з Сигма, Тау, фактори
• Онлайн Сильно Складові Числа Калькулятор

Література

• О. Оре. Приглашение в теорию чисел. — М. : Наука, 1980. — 128 с. — (выпуск 3 серии «Библиотечка квант»). — 150 000 екз.