Досконалий степінь

Демонстрація паличками Кюїзенера природи досконалого степеня чисел 4, 8 і 9 .

Досконалий степінь — додатне ціле число $n$, що є цілим степенем $k$ додатного цілого числа $m$: $n=m^{k}$. При $k=2,3$ число $n$ називається відповідно досконалим (повним) квадратом та досконалим кубом. Іноді числа 0 та 1 також вважаються досконалими степенями (оскільки $0^{k}=0$ і $1^{k}=1$ для будь-якого $k>0$).

Послідовність досконалих степенів можна сформувати перебором можливих значень для $m$ і $k$; перші кілька її членів (включно з повторюваними):

$2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,$ $2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots$

Перші досконалі степені без дублікатів такі:

(іноді 0 і 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Властивості

Сума обернених досконалих степенів (включно з дублікатами, такими як $3^{4}=9^{2}=81$) дорівнює 1:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1$,

що можна довести так:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1$.

Сума ряду обернених величин досконалих степенів (за винятком одиниці) без дублікатів дорівнює:

$\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0{,}874464368\dots$,

де $\mu (k)$ — функція Мебіуса, а $\zeta (k)$ — дзета-функція Рімана.

Згідно з Ейлером, в одному із загублених листів Гольдбах показав, що сума чисел, обернених до $n_{i}-1$ із послідовності досконалих степенів $\{n_{i}\}$ без одиниці і дублікатів дорівнює 1:

$\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1$,

іноді це твердження називають теоремою Гольдбаха — Ейлера.

2002 року Преда Михейлеску довів, що єдина пара послідовних досконалих степенів — це $2^{3}=8,3^{2}=9$, Тим самим довівши гіпотезу Каталана.

Невирішена проблема — гіпотеза Піллаї, згідно з якою для будь-якого заданого додатного цілого числа $k$ існує тільки скінченне число пар досконалих степенів, різниця яких дорівнює $k$.

Виявлення досконалих степенів

Виявити, чи є дане натуральне число $n$ досконалим степенем, можна багатьма способами різного рівня складності. Один із найпростіших способів — розглянути всі можливі значення для $k$ за кожним із дільників числа $n$ аж до $k\leqslant \log _{2}n$. Якщо дільники $n$ рівні $n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}$, то одне зі значень $n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots$ має дорівнювати $n$, якщо $n$ дійсно є досконалим степенем.

Цей метод можна відразу спростити, натомість розглядаючи тільки прості значення $k$, оскільки для складеного $k=ap$, де $p$ — просте число, $n=m^{k}$ можна переписати як $n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}$. Звідси випливає, що мінімальне значення $k$ обов'язково має бути простим.

Якщо відома повна факторизація $n$, наприклад, $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$, де $p_{i}$ — різні прості числа, то $n$ — досконалий степінь тоді і тільки тоді, коли $\gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1$ ($\gcd$ — найбільший спільний дільник). Наприклад, для $n=2^{9624}$: оскільки $\gcd(96,60,24)=12$, $n$ — це досконалий 12-й степінь (та досконалий 6-й степінь, 4-й степінь, куб та квадрат, оскільки 6, 4, 3 і 2 є дільниками 12).

Посилання

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 року (Pdf) [Архівовано 22 квітня 2022 у Wayback Machine.]