Подільність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Подільність — фундаментальна властивість натуральних та цілих чисел. Число a ділиться на b, відповідно, число b є дільником a, якщо частка \frac{a}{b} — ціле число. Будь-яке натуральне число ділиться на одиницю і на себе. Якщо дане число не має інших дільників, то таке число називається простим, в іншому разі — складеним. Властивості простих чисел і питання подільності займали думки науковців і філософів протягом двох з половиною тисячолітть, принаймні з часів Піфагора, і ще досі не вичерпали себе. Завдяки розвитку криптографії і розповсюдженню заснованних на теорії чисел алгоритмів, пов'язані з перевіркою на простоту і факторизацією дослідження знаходяться на передовому краю математики.

Історія[ред.ред. код]

Питання подільності натуральних чисел розглядалися уже в античні часи. Евкліду належить один з найвідоміших результатів математики, твердження, що не існує найбільшого простого числа, тобто множина простих чисел — нескінченна. Він також навів найперший в історії алгоритм, а саме алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох натуральних чисел. Цікаво відзначити, що це — не тільки найдавніший, а й один з найефективніших алгоритмів в математиці, який майже не був вдосконалений за більш ніж дві тисячі років, що минули по тому. Але набагато раніше за Евкліда, Піфагор і піфагорейці розробили теорію досконалих і дружніх чисел, які відігравали важливу роль у їх філософській системі.

Подільність чисел, загальніших ніж цілі, було ретельно досліджено у 19 ст., починаючи з роботи Гауса про властивості гаусових цілих чисел, комплексних чисел вигляду a+bi, де a,b\in\mathbb{Z} — це звичайні цілі числа, а i=\sqrt{-1} — це уявна одиниця. Гаус відкрив аналог алгоритма Евкліда і в такий спосіб довів однозначність факторизації гаусових цілих чисел. Чимало із спроб доведення великої теореми Ферма спиралося на однозначність факторизації алгебраїчних цілих чисел вигляду

a_0+a_1\zeta+\ldots+a_{n-1}\zeta^{n-1},

де \zeta — це примітивний корінь з одиниці степені n, \zeta^n=1, a a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{Z} — цілі числа. Однак виявилося, що у випадку загального n такі числа поводяться набагато складніше, ніж звичайні цілі, зокрема, для них не виконується однозначність факторизації на прості множники. У роботах Куммера, Кронекера і Дедекінда з теорії подільності алгебраїчних цілих чисел з'явились фундаментальні для сучасної математики поняття теорії кілець, на яких, разом з введеним Галуа поняттям групи, ґрунтується сучасна абстрактна алгебра.

Див. також[ред.ред. код]