Верхня та нижня межа

Множина, її верхні межі та супремум.

Верхня та нижня межа (мажоранта та міноранта) — в теорії порядку, це межі підмножини в частково впорядкованій множині.

Визначення

Для підмножини $X$ частково впорядкованої множини $(P,\leq )$ :

Міноранта чи нижня межа $X$ — елемент $a\in P$, такий що $\forall x\in X:\quad a\leqslant x$.

Мажоранта чи верхня межа $X$ — елемент $b\in P$, такий що $\forall x\in X:\quad x\leqslant b$.

Пов'язані визначення

Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини $X$, називається найменший елемент $P$, який є мажорантою $X$.

Позначається $\sup X$.

Більш формально:

$S_{X}=\{b\in P\mid \forall x\in X\!:x\leqslant b\}\!$ — множина мажорант $X$, тобто елементів $P$, рівних чи більших за всі елементи $X$

$s=\sup(X)\iff s\in S_{X}\land \forall b\in S_{X}\!:s\leqslant b.$

Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини $X$, називається найбільший елемент $P$, який є мінорантою $X$.

Позначається $\inf X$.

Зауваження

• Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
• Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
• Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.

• Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
• І навпаки, для підмножини $X$:
  • якщо $i=\inf(X)\in X$, то $i$ є найменшим елементом та мінімумом $X$, позначається $i=\min _{x\in X}x$.
  • якщо $s=\sup(X)\in X$, то $s$ є найбільшим елементом та максимумом $X$, позначається $s=\max _{x\in X}x$.

Приклади

• На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум. $\inf$ такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
• Для множини $S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{3}},\;\ldots \right\}$

$\sup S=1$; $\inf S=0$.

• Множина додатних раціональних чисел $\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$ не має точної верхньої грані в $\mathbb {Q}$, точна нижня грань $\inf \mathbb {Q} _{+}=0$.
• Множина $X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}$ раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в $\mathbb {Q}$, але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то

$\sup X={\sqrt {2}}$ та $\inf X=-{\sqrt {2}}$.

Теорема про грані

Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу — нижню грань. Тобто існує $a$ та $b$ такі, що

$b=\sup X{\begin{cases}\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant b\\\forall b^{'},b^{'}<b\Rightarrow \exists x\in X\land x>b^{'}\end{cases}}(1.1)$

$a=\inf X{\begin{cases}\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant a\\\forall a^{'},a^{'}>a\Rightarrow \exists x\in X\land x<a^{'}\end{cases}}(1.2)$

Властивості

• З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини $\mathbb {R}$, існує $\sup$.
• З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини $\mathbb {R}$, існує $\inf$.
• Дійсне число $s$ є $\sup X$ тоді й лише тоді, коли:
  1. $s$ є верхня грань $X$ тобто для всіх елементів $x\in X$, $x\leqslant s$;
  2. Для будь-якого $\varepsilon >0$ знайдеться $x\in X$, такий, що $x+\varepsilon >s$.(тобто до $s$ можна скільки завгодно «близько підібратися» з множини $X$)
• Аналогічне твердження справджується для точної нижньої грані.

Див. також

• Верхня множина
• Двоїстість (теорія порядку)
• Інфімум та супремум
• Найбільший та найменший елемент
• Максимальні та мінімальні елементи

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)