Експонента матриці

Експонента матриці — матрична функція від квадратної матриці, що має багато властивостей аналогічних звичайній експоненційній функції дійсних чи комплексних чисел. Матрична експонента встановлює зв'язок між алгеброю Лі матриць і відповідною групою Лі.

Визначення

Для дійсної або комплексної матриці $X$ розміру $n\times n$ $(X\in M(n,\mathbb {C} ))$ експонента від $X$, що позначається як $e^{X}$ або $\exp(X)$ — матриця розміру $n\times n$, визначена за допомогою ряду:

$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}$,

де $X^{k}$ — k-а степінь матриці $X$.

Даний ряд завжди збігається абсолютно. Якщо $\|X\|=\alpha$, де взято матричну норму узгоджену з векторною (для скінченновимірних просторів усі норми еквівалентні), то $\left\|{\frac {1}{k!}}X^{k}\right\|\leqslant {\frac {1}{k!}}\|X\|^{k}\leqslant {\frac {1}{k!}}\alpha ^{k}$.

Звідси ${\big \|}\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}{\big \|}\leqslant \sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}\|X^{k}\|\leqslant \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\alpha ^{k}=e^{\alpha }$, що доводить абсолютну збіжність ряду і коректність визначення.

Якщо $X$ — матриця розміру $1\times 1$, то матрична експонента від $X$ є матриця розмірності $1\times 1$ , єдиний елемент якої дорівнює звичайній експоненті від єдиного елемента $X$.

Еквівалентне визначення

Експоненційну функцію можна також визначити наступною рівністю.

$\exp X=\lim _{n\to \infty }\left(I+{\frac {1}{n}}X\right)^{n},$ де $I$ — одинична матриця відповідної розмірності.

Ця рівність є аналогічною до рівності $e^{a}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {a}{n}}\right)^{n},$ що виконується для дійсних і комплексних чисел.

Для доведення рівності використовується формула $\left(1+{\frac {a}{m}}\right)^{m}=\sum _{k=0}^{m}{\frac {a^{k}}{k!(m-k)!}},$ де a може бути як числом, так і матрицею.

Тоді якщо для тої ж норми, що й вище $\|X\|=a,$ то:

$\left\|e^{X}-\left(I+{\frac {1}{n}}X\right)^{n}\right\|\leqslant \sum _{k=0}^{n}{\frac {a^{k}}{k!}}-{\frac {a^{k}}{k!(n-k)!}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a^{k}}{k!}}=e^{a}-\left(1+{\frac {a}{n}}\right)^{n}\to 0,$ при $n\to \infty ,$ що й доводить твердження.

Властивості

Основні властивості

Для комплексних матриць $X$ і $Y$ розміру $n\times n$, довільних комплексних чисел $a$ і $b$, одиничної матриці $I$ і нульової матриці $0$, експонента має наступні властивості:

• $\exp 0=I$;
• Матриці $X$ і $\exp X$ комутують, тобто $X\exp(X)=\exp(X)X.$ Це легко виводиться з визначення експоненти, як суми збіжного ряду, кожен доданок якого очевидно комутує з $X$.
• $\exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)$;
• $\exp X\exp \left(-X\right)=I$;
• Якщо $XY=YX$, то $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)$;
• Якщо $Y$ — невироджена матриця, то $\exp(YXY^{-1})=Y\exp(X)Y^{-1}$.
• $\exp X^{\mathrm {T} }=(\exp X)^{\mathrm {T} }$, де $X^{\mathrm {T} }$ позначає транспоновану матрицю до $X$, це означає, що якщо $X$ є симетричною, то $\exp X$ теж симетрична, а якщо $X$ — кососиметрична матриця, то $\exp X$ — ортогональна;
• $\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}$, де $X^{*}$ позначає ермітово-спряжену матрицю для $X$, це означає, що якщо $X$ — ермітова матриця, то $\exp X$ теж ермітова, а якщо $X$ — антиермітова матриця, то $\exp X$ — унітарна.
• $\det \left(\exp X\right)={\exp({\mbox{tr}}(X)}),$ де $\det$ — визначник, а ${\mbox{tr}}$ — слід матриці.

Експонента суми

Для будь-яких двох дійсних чисел (скалярів) $x$ і $y$ експоненціальна функція задовольняє рівнянню $e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}$, це ж властивість має місце для симетричних матриць — якщо матриці $X$ і $Y$ комутують (тобто $XY=YX$), то $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$. Однак, для некомутативних матриць ця рівність виконується не завжди, в загальному випадку для обчислення $\exp(X+Y)$ використовується формула Бейкера — Кемпбелла — Хаусдорфа.

У загальному випадку з рівності $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ не випливає, що $X$ і $Y$ комутують.

Для ермітових матриць існує дві прості теореми, пов'язані з слідом експонент матриць.

Нерівність Голдена - Томпсона

Якщо $A$ і $H$ — ермітові матриці, то :

$\operatorname {tr} \exp(A+H)\leqslant \operatorname {tr} (\exp(A)\exp(H))$,

де $\operatorname {tr} X$ — слід матриці $X$. Комутативність для виконання цього твердження не потрібна. Існують контрприклади, які показують, що нерівність Голдена — Томпсона не може бути узагальнена на три матриці, а $\operatorname {tr} (\exp(A)\exp(B)\exp(C))$ не завжди є дійсним числом для ермітових матриць $A$, $B$ і $C$.

Теорема Ліба

Теорема Ліба, названа ім'ям Еліота Ліба , стверджує, що для фіксованої ермітової матриці $H$, функція:

$f(A)=\operatorname {tr} \,\exp \left(H+\log A\right)$

є увігнутою на конусі додатноозначених матриць .

Експоненціальне відображення

Експонента матриці завжди є невиродженою матрицею. Обернена до $\exp X$ матриця рівна $\exp(-X)$, це аналог того факту, що експонента від комплексного числа ніколи не дорівнює нулю. Таким чином, матрична експонента визначає відображення:

$\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$

з простору всіх матриць розмірності $n\times n$ на загальну лінійну групу порядку $n$, тобто групу всіх невироджених матриць розмірності $n\times n$. Це відображення є сюр'єкцією, тобто кожна невироджена матриця може бути записана як експонента від деякої іншої матриці (щоб це твердження було справедливим необхідно розглядати поле комплексних чисел $\mathbb {C}$, а не дійсних чисел $\mathbb {R}$).

Для будь-яких двох матриць $X$ і $Y$ має місце нерівність

$\|e^{X+Y}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|}$,

де $\|\cdot \|$ позначає довільну матричну норму. Звідси випливає, що експоненціальне відображення є неперервним і ліпшицевим на компактних підмножинах $M_{n}(\mathbb {C} )$.

Загалом експоненційне відображення не є ін'єктивним. Але воно буде ін'єктивним, наприклад на підмножині $X\in B(0,\ln 2)\subset M(n,\mathbb {C} ),$де $B(0,\ln 2)$— множина матриць норма яких (узгоджена з векторною нормою) менша ніж ln 2. На цій множині експоненційна функція є дифеоморфізмом і обернена функція може бути подана, як сума збіжного ряду:

$\log(Y)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k-1} \over k}(Y-I)^{k}.$

Диференціювання

Відображення:

$t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R}$

визначає гладку криву в загальній лінійній групі, яка проходить через одиничний елемент при $t=0$.

Похідна цього відображення визначається формулою:

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}e^{tX}=Xe^{tX}.$

Справді з визначень похідної і властивостей експоненти одержується послідовність рівностей:

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}e^{tX}=\lim _{t_{0}\to 0}{\frac {e^{(t+t_{0})X}-e^{tX}}{t_{0}}}=\lim _{t_{0}\to 0}{\frac {e^{t_{0}X}-I}{t_{0}}}e^{tX}=\lim _{t_{0}\to 0}(X+O(t_{0}))e^{tX}=Xe^{tX}.$

Більш загально для матриці X(t) залежної від параметра t справедливою є рівність:

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}e^{X(t)}=e^{X}{\frac {1-e^{-{\rm {ad}}(X)}}{{\rm {ad}}(X)}}{\frac {{\rm {d}}X}{{\rm {d}}t}},$

де ${\rm {ad}}(X)\;:\;M(n,\mathbb {C} )\to M(n,\mathbb {C} )$— лінійне відображення визначене ${\rm {ad}}(X)(Y)=[X,Y]=XY-YX,$для довільної матриці $Y\in M(n,\mathbb {C} ).$

У попередній формулі для виразу в правій частині справедлива формула:

${\frac {1-e^{-{\rm {ad}}(X)}}{{\rm {ad}}(X)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over (k+1)!}({\rm {ad}}(X))^{k}.$

Взявши в формулі для диференціювання $X(t)=X+tY,$ отримуємо формулу для диференціала експоненційного відображення в точці $X\in M(n,\mathbb {C} ):$

$({\rm {d}}_{X}\exp )Y=\exp {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}e^{X+tY}=e^{X}{\frac {1-e^{-{\rm {ad}}(X)}}{{\rm {ad}}(X)}}Y,\;\forall \;Y\in M(n,\mathbb {C} )\simeq T_{X}M(n,\mathbb {C} ).$

При $XY=YX$ ця рівність спрощується до $({\rm {d}}_{X}\exp )Y=e^{X}Y.$

Системи лінійних диференціальних рівнянь

Одна з причин, які зумовлюють важливість матричної експоненти, полягає в тому, що вона може бути використана для розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь . Розв'язок системи:

${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}$,

де $A$ — стала матриця, дається виразом:

$y(t)=e^{At}y_{0}.$

Матрична експонента може бути також використана для розв'язування неоднорідних рівнянь виду

${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}$.

Не існує замкнутого аналітичного виразу для рішень неоднорідних диференціальних рівнянь виду

${\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}$,

де $A$ — матриця елементи якої не є константами, але Розклад Магнуса дозволяє отримати подання розв'язку у вигляді нескінченної суми.

Приклад однорідної системи

Для системи:

${\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matrix}}$

матриця рівна:

$A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.$

Можна показати, що експонента від матриці $tA$ є

$e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(1+e^{2t}-2t)&-2te^{2t}&e^{2t}(-1+e^{2t})\\-e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}(-1+e^{2t})\\e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)&2te^{2t}&e^{2t}(1+e^{2t})\end{bmatrix}}~,$

таким чином, загальним розв'язком цієї системи рівнянь є:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(1+e^{2t}-2t)\\-e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)\\e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(-1+e^{2t})\\-e^{2t}(-1+e^{2t})\\e^{2t}(1+e^{2t})\end{bmatrix}}~.$

Приклад неоднорідної системи

Для розв'язку неоднорідної системи:

${\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}$

вводяться позначення:

$A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,$

і

$\mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}$

Так як сума загального розв'язку однорідного рівняння і часткового розв'язку дають загальний розв'язок неоднорідного рівняння, залишається лише знайти частковий розв'язок. Так як:

$\mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c}$

$\mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\\\-2e^{U}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c}$

$\mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}(2e^{u}-2ue^{2u})\\\\e^{2u}(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u})\\\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c}$

$\mathbf {y} _{p}=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\\\-2e^{T}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,$

де $\mathbf {c} =\mathbf {y} _{p}(0)$ — початкова умова.

Узагальнення: варіація довільної сталої

У разі неоднорідної системи можна використовувати метод варіації довільної сталої. Шукається частковий розв'язок у вигляді: $\mathbf {y} _{p}(t)=\exp(tA)\mathbf {z} (t)$:

${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=(e^{tA})'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}$

Щоб $\mathbf {y} _{p}$ була розв'язком, має виконуватися наступне:

${\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=(e^{tA})^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}$

Таким чином:

${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&{}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&{}=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \end{aligned}}~,$

де $\mathbf {c}$ визначається з початкових умов задачі.

Див. також

• Експонента (теорія груп Лі)

Джерела

• Baker, Andrew J. (2003), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9

Посилання

• Weisstein, Eric W., «Matrix Exponential», MathWorld
• Module for the Matrix Exponential