Ряд Меркатора

У математиці ряд Меркатора (або ряд Ньютона-Меркатора) є рядом Тейлора для натурального логарифму:

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ,$

або з використанням позначень суми:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.$

Ряд Меркатора збігається при $-1<x\leq 1$, хоча збіжність досить повільна. При $|x|<1$ ряд збігається абсолютно.

Історія

Площа під гіперболою $y=1/x$ в інтервалі $(1,a)$ дорівнює $\ln(a)$

У 1647 Грегуар де Сен-Венсан виявив зв'язок логарифма і площі під гіперболою (див. рисунок). У 1650 році, виходячи з геометричних міркувань, італійський математик П'єтро Менголі опублікував у своєму трактаті «Нові арифметичні квадратури» розкладання $\ln 2$ в нескінченний ряд:

$\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}+\cdots .$

У 1657 році цю формулу незалежно опублікував англійський математик Вільям Браункер в своїй статті «Квадратура гіперболи за допомогою нескінченного ряду раціональних чисел».

У 1668 році німецький математик Ніколас Меркатор (Кауфман), який проживав тоді в Лондоні, в трактаті «Logarithmotechnia» вперше розглянув розкладання в ряд не числа, а функції:

${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\dots$

Далі він знайшов площі під лівою і правою частинами цього розкладу (в сучасних термінах, проінтегрував їх) і отримав «ряд Меркатора», який виписав для значень $x=0{,}1$ та $x=0{,}21$. Збіжність ряду Меркатор не дослідив, але відразу після виходу в світ праці Меркатора Джон Валліс вказав, що ряд придатний при $0\leqslant x<1$ (від'ємними числами тоді нехтували).

Як виявили історики, Ньютон вивів такий же ряд в 1665 році, але, за своїм звичаєм, не подбав про публікацію. Глибокі дослідження Ньютона в області нескінченних рядів були опубліковані тільки в 1711 році, в трактаті «Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченним числом членів».

Виведення

Ряд можна отримати з теореми Тейлора методом індукції через обчислення $n$-ї похідної функції $\ln(x)$ у точці $x=1$, починаючи з

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.$

Також можна почати з скінченного геометричного ряду ($t\neq -1$):

$1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}$

з якого отримуємо

${\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.$

З цього випливає, що

$\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\ {\rm {d}}t$

і шляхом почленного інтегрування маємо

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\ {\rm {d}}t.$

Якщо $-1<x\leq 1$, залишковий член прямує до 0 при $n\to \infty$.

Якщо цей вираз проінтегрувати $k$ разів, то отримаємо

$-xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},$

де

$A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}$

та

$B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}$

є многочленами змінної $x$.

Особливі випадки

Якщо у ряді Меркатора покласти $x=1$, то отримуємо знакозмінний гармонійний ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln(2).$

Варіації та узагальнення

Ряд Меркатора непридатний для реальних розрахунків, так як збігається дуже повільно, причому в обмеженому інтервалі. Але вже в рік публікації роботи Меркатора (1668) Джеймс Грегорі запропонував його модифікований варіант:

$\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \right).$

Цей ряд збігається набагато швидше, а логарифмований вираз вже може бути будь-яким додатним числом . Наприклад, сума перших 10 членів ряду Меркатора для $\ln 2$ дорівнює $0{,}646$, тут тільки перший десятковий знак вірний, в той час як ряд Грегорі дає значення $0{,}6931471805498$, в якому вірні 10 знаків з 13..

На комплексній площині ряд Меркатора набуває узагальнений вигляд:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots .$

Це ряд Тейлора для комплексної функції $f(z)=-\ln(1-z)$, де символ $\ln$ позначає головну вітку (головне значення) комплексного натурального логарифма. Даний ряд збігається в крузі $|z|\leqslant 1,z\neq 1$.

Насправді, як видно з ознаки д'Аламбера, ряд має радіус збіжності рівний 1, тому збігається абсолютно у кожному крузі $B(0,r)$ з радіусом $r<1$. Більше того, він рівномірно збігається на кожному виколотому крузі ${\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )$ з $\delta >0$. Це відразу випливає з алгебраїчної тотожності:

$(1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},$

оскільки ряд у правій частині рівномірно збігається на всьому замкненому одиничному крузі.

Див. також

• Ряд Тейлора
• Гармонічний ряд
• Геометричний ряд

Література

• Weisstein, Eric W. Mercator Series(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
• Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by W. W. Rouse Ball.