Верхня та нижня межа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Множина, її верхні межі та супремум.

Верхня та нижня межа (мажоранта та міноранта) — в теорії порядку, це межі підмножини в частково впорядкованій множині.

Визначення

[ред. | ред. код]

Для підмножини частково впорядкованої множини  :

Міноранта чи нижня межа  — елемент , такий що .

Мажоранта чи верхня межа  — елемент , такий що .

Пов'язані визначення

[ред. | ред. код]

Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини , називається найменший елемент , який є мажорантою .

Позначається .

Більш формально:

 — множина мажорант , тобто елементів , рівних чи більших за всі елементи

Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини , називається найбільший елемент , який є мінорантою .

Позначається .

Зауваження

[ред. | ред. код]
  • Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
  • Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
  • Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.
  • Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
  • І навпаки, для підмножини :
    • якщо , то є найменшим елементом та мінімумом , позначається .
    • якщо , то є найбільшим елементом та максимумом , позначається .

Приклади

[ред. | ред. код]
  • На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум. такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
  • Для множини
; .
  • Множина додатних раціональних чисел не має точної верхньої грані в , точна нижня грань .
  • Множина раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в , але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то
та .

Теорема про грані

[ред. | ред. код]

Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу — нижню грань. Тобто існує та такі, що

Властивості

[ред. | ред. код]
  • З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини , існує .
  • З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини , існує .
  • Дійсне число є тоді й лише тоді, коли:
    1. є верхня грань тобто для всіх елементів , ;
    2. Для будь-якого знайдеться , такий, що .(тобто до можна скільки завгодно «близько підібратися» з множини )
  • Аналогічне твердження справджується для точної нижньої грані.

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]