Група з операторами

Алгебричні структури
Групо-подібні Група Напівгрупа / Моноїд Стійки і квандли Квазігрупа і Петля Абелева група Магма Група Лі Теорія груп
Кільце-подібні Кільце Rng Напівкільце Near-ring Групове кільце Комутативне кільце Область цілісності Поле Тіло Lie ring Теорія кілець
Ґратко-подібні Ґратка Напівґратка Доповнена ґратка Лінійний порядок Алгебра Гейтінга Булева алгебра Діаграма ґраток Теорія порядку
Модуле-подібні Модуль Група з операторами Векторний простір Лінійна алгебра
Алгебра-подібні Алгебра Асоціативна Неасоціативна Композитна алгебра Алгебра Лі Градуйована Біалгебра Алгебра Гопфа

Група з операторами(чи Ω-група) — в абстрактній алгебрі це алгебрична структура, що є групою з множиною Ω, яка діє на елемпенти групи.

Група з операторами вивчалась Еммі Нетер і її учнями в 1920-их. Вона використала її в теоремах про ізоморфізми.

Визначення

Група з операторами $(G,\Omega )$ це група $G=(G,\cdot )$ з дією множини $\Omega$ на $G$:

$\Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }$

що є дистрибутивною до операції групи:

$(g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.$

Для кожного $\omega \in \Omega$, операція $g\mapsto g^{\omega }$ є ендоморфізмом G. Отже Ω-група може розглядатись як група G з індексованим сімейством $\left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }$ ендоморфізмів G.

$\Omega$ називається областю визначення операторів. асоційовані ендоморфізми називаються гомотетіями G.

Для двох груп G, H з однаковою $\Omega$, гомоморфізм груп з операторами це гомоморфізм груп $\phi :G\to H$, що задовільняє

$\phi \left(g^{\omega }\right)=(\phi (g))^{\omega }$ для всіх $\omega \in \Omega$ та $g\in G.$

Підгрупа S в G називається стабільною підгрупою, $\Omega$-підгрупою чи $\Omega$-інваріантною підгрупою якщо вона зберігає гомотетії, тобто:

$s^{\omega }\in S$ для всіх $s\in S$ та $\omega \in \Omega .$

Теорія категорій

В теорії категорій, група з операторами може бути визначена як об'єкт категорії функторів Grp^M, де M — моноїд (тобто категорія з одним об'єктом), а Grp — категорія груп.

Морфізм в цій категорії, це натуральне перетворення між двома функторами (тобто, дві групи з операторами мають одну й ту ж саму область визначення операторів M).

Група з операторами також є відображенням

$\Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),$

де $\operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)$ є множиною ендоморфізмів групи G.

Приклади

• Довільна група G, (G, ∅) є групою з операторами.
• module M над кільцем R, R задає кратність (множення на скаляр) для елементів абелевої групи M, тому (M, R) є групою з операторами.
• Як частковий випадок попереднього: векторний простір над полем k є групою з операторами (V, k).

Див. також

• Дія групи
• Композиційний ряд

Джерела

• Bourbaki. Algebra, Part I. — Hermann, 1973. — С. 516. — (Елементи математики)(англ.)
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)