Розподіл Коші

Розподіл Коші-Лоренца

Щільність розподілу Зелена лінія — стандартний розподіл Коші
Функція розподілу ймовірностей Кольори як і на попередньому малюнку
Параметри	$x_0\!$ параметр знаходження (дійсне) $\gamma > 0\!$ масштаб (дісне)
Носій функції	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Розподіл ймовірностей	$\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}$
Середнє	не визначено
Медіана	$x_0$
Мода	$x_0$
Дисперсія	не визначено
Коефіцієнт асиметрії	не визначено
Коефіцієнт ексцесу	не визначено
Ентропія	$\ln(4\,\pi\,\gamma)\!$
Твірна функція моментів (mgf)	не визначено
Характеристична функція	$\exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!$

Крива Лоренца — функція однієї змінної $x$ з двома параметрами $x_0$ і $\gamma$

$f(x) = \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{ (x-x_0)^2 + \gamma^2}$.

Графіки функції при різних значеннях параметрів показані на рисунку праворуч. Оскільки крива зустрічається в багатьох областях науки вона має багато різних назв: лоренціан, функція Лоренца, розподіл Коші, розподіл Коші-Лоренца, розподіл Брейта-Вігнера.

Використовується для опису форми лінії в спектроскопії, часто зустрічається в фізиці, зокрема у квантовій механіці.

Властивості

Функція має максимум при $x = x_0$. При $\gamma \rightarrow 0$ висота цього максимуму зростає до нескінченності, а ширина зменшується до нуля. Тому крива Лоренца часто використовується як наближення до дельта-функції.

$\lim_{\gamma \rightarrow 0} f(x) = \delta (x-x_0)$.

Інтеграли

$\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\pi} \frac{\gamma dx}{ (x-x_0)^2 + \gamma^2} = 1$

Дивіться також

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.