Алгебрична структура

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Алгебраїчна система)
Перейти до: навігація, пошук

Алгебраїчна система (алгебраїчна структура) — в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системі аксіом.

Основним завданням абстрактної алгебри є вивчення властивостей аксіоматично заданих алгебраїчних систем.

Формально: об'єкт де:

  •  — непорожня множина,
  •  — множина алгебраїчних операцій визначених на
  •  — множина відношень визначених на

Множина називається носієм алгебраїчної системи. Множини називається сигнатурою алгебраїчної системи.

Якщо алгебраїчна система не містить операцій, вона називається моделлю, якщо не містить відношень, то — алгеброю.

Якщо не розглядають ніяких аксіом, яким мають задовільняти операції, то алгебраїчна система називається універсальною алгеброю заданої сигнатури .

Для алгебраїчних структур визначають морфізми, як відображення що зберігають операції (дивись гомоморфізм). Таким чином визначають категорії.

Якщо множина має властивості топологічного простору і операції є неперервними, то таку алгебраїчну систему називають топологічною алгебраїчною системою (наприклад, топологічна група).

Не всі алгебраїчні конструкції описуються алгебраїчними системами, є ще коалгебри, біалгебри, алгебри Хопфа і комодулі над ними і т. д

Алгебраїчні операції[ред.ред. код]

-арна операція на — це відображення прямого добутку екземплярів множини в саму множину . За визначенням, нуль-арна операція — це просто виділений елемент множини.

Найчастіше розглядають унарні і бінарні операції, як найпростіші. Але для потреб топології, алгебри, комбінаторики вивчають операції більшої арності, наприклад, теорія операд і алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).

Список алгебраїчних систем[ред.ред. код]

M = магма, Q = квазігрупа, S = напівгрупа,
L = Лупа, N = моноїд, G = група,
d = ділення, a = асоціативність,
e = з одиницею, i = існування оберненого
  • Множина може вважатись виродженою алгебраїчною системою з порожньою сигнатурою.

Групо-подібні структури[ред.ред. код]

тобто рівняння завжди має єдиний роз'вязок
  • Квазігрупа — одночасно права і ліва квазігрупи.
    • Лупа(Петля)квазігрупа з одиницею (унітарна квазігрупа):
  • Напівгрупаасоціативний групоїд:
    • Моноїднапівгрупа з одиницею (унітарна напівгрупа).
  • Групамоноїд з діленням чи асоціативна лупа:
  • Абелева групакомутативна група:
Операцію в абелевій групі часто називають додаванням (+) а нейтральний елемент — нулем.

Кільце-подібні структури[ред.ред. код]

  • Півкільце — подібне до кільця, але без оберненості додавання (комутативний моноїд по додаванню і моноїд по множенню).
  • Кільце — структура с двома бінарними операціями: абелева группа по додаванню, моноїд по множенню,
виконується дистрибутивний закон: .

Модулі[ред.ред. код]

Алгебри[ред.ред. код]

Решітки[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Українською
  • Завало С. Т. Курс алгебри. — Київ : Вища школа, 1985. — 503 с. (укр.)
Іншими мовами
  • I. N. Herstein Topics in Algebra. — 2. — John Wiley & Sons, 1975. — 388 с. — ISBN 978-0471010906. (англ.)
  • Joseph J. Rotman Advanced Modern Algebra. — 3 (Graduate Studies in Mathematics). — AMS, 2015. — 709 с. — ISBN 978-1470415549. (англ.)
  • Thomas W. Hungerford Algebra. — 8th Edition (Graduate Studies in Mathematics). — Springer, 2003. — Т. 73. — 504 с. — ISBN 978-0387905181. (англ.)
  • Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)