Теорема Гріна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Теорема Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом по замкнутому контуру і подвійним інтегралом по області , обмеженій цим контуром. Фактично, ця теорема є окремим випадком загальнішої теореми Стокса. Теорема названа на честь англійського математика Джорджа Гріна.

Формулювання[ред.ред. код]

 — область, обмежена замкнутою кривою

Нехай  — додатно орієнтована кусково-гладка замкнута крива на площині, а  — область, обмежена кривою . Якщо функції , визначені в області і мають неперервні часткові похідні , , то

На символі інтеграла часто малюють коло, щоб підкреслити, що крива замкнута.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай область  — криволінійна трапеція (область, правильна в напрямі ):

Для кривої , що обмежує область , задамо напрям обходу за годинниковою стрілкою.

Тоді:

Помітимо, що обидва одержані інтеграли можна замінити криволінійними інтегралами:

Інтеграл по береться із знаком «мінус», оскільки, згідно з орієнтацією контура, напрям обходу даної частини — від до .

Криволінійні інтеграли по і будуть рівні нулю, оскільки :

Замінимо в (1) інтеграли згідно з (2) і (3), а також додамо (4) і (5), що рівні нулю і не впливають на значення виразу:

Оскільки обхід за годинниковою стрілкою при правій орієнтації площини є від'ємним напрямом, то сума інтегралів в правій частині є криволінійним інтегралом по замкнутій кривій у від'ємному напрямі:

Аналогічно доводиться формула:

якщо як область узяти область, правильну в напрямі .

Віднімаючи (6) з (7), одержимо:

Зв'язок з формулою Остроградського[ред.ред. код]

Розглядаючи двовимірне векторне поле, теорема Гріна рівнозначна двовимірному випадку формули Остроградського:

де це дівергенція двовимірного векторного поля , а це нормаль на границі, що вказує назовні.

Що побачити це, розглянемо одиничну нормаль у правій частині рівності. Оскільки в теоремі Гріна це вектор спрямований уздовж дотичної до кривої, і крива C додатно орієнтована (тобто проти годинникової стрілки) крива вздовж границі, зовнішня нормаль це вектор спрямований 90° праворуч від цього; можна обрати . Цей вектор завдовжки Тому

Отже,

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]