Квадрика

Квадрика — n-мірна гіперповерхня в n+1-мірному просторі, задана як множина нулів многочлена другого степеня. Якщо ввести координати {x₁, x₂, ..., x_n+1} (в евклідовому або афінному просторі), загальне рівняння квадрики має вигляд

$\sum _{i,j=1}^{n+1}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{n+1}P_{i}x_{i}+R=0.$

Це рівняння можна переписати більш компактно в матричних позначеннях:

$xQx^{T}+Px^{T}+R=0\,$

де x = {x₁, x₂, ..., x_n+1} — вектор-рядок, x^T — транспонований вектор, Q — матриця розміру (n+1)×(n+1) (передбачається, що хоча б один її елемент ненульовий), P — вектор-рядок, а R — константа. Найбільш часто розглядають квадрики над дійсними або комплексними числами. Визначення можна поширити на квадрики в проєктивному просторі.

Більш загально, множину нулів системи поліноміальних рівнянь можна розглядати як алгебраїчний многовид. Таким чином, квадрика є (аффінним або проєктивним) алгебраїчним многовидом другого ступеня і ковимірності 1.

Квадрика в евклідовому просторі

Квадрика на евклідовій площині відповідає випадку n = 1, тобто є кривими. Зазвичай їх називають не квадриками, а коніками або конічними перетинами.

Еліпс (e = 1/2), парабола (e=1) і гіпербола (e = 2) з фіксованим фокусом F та директрисою.

Квадрики в (тривимірному дійсному) евклідовому просторі мають розмірність n = 2 і називаються поверхнями другого порядку. Провівши ортогональну заміну базису, будь-яку квадрику в евклідовому просторі можна звести до нормальної форми. У тривимірному евклідовому просторі існує 17 таких форм. З них 5 є невиродженими (тобто відповідна їм білінійна форма Q є невиродженою). Вироджені форми включають в себе площині, прямі, точки і навіть квадрику без дійсних точок.

Невироджені дійсні квадрики в евклідовому просторі
Еліпсоїд	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
Сфероїд (спеціальна форма еліпсоїда)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,$
Сфера (спеціальна форма сфероїда)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,$
Еліптичний параболоїд	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
Круговий параболоїд (спеціальна форма еліптичного параболоїда)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$
Гіперболічний параболоїд	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
Однопорожнинний гіперболоїд	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
Двопорожнинний гіперболоїд	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,$
Вироджені квадрики в евклідовому просторі
Еліптичний конус	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$
Круговий конус (спеціальна форма еліптичного конуса)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0\,$
Еліптичний циліндр	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
Круговий циліндр (спеціальна форма еліптичного циліндра)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,$
Гіперболічний циліндр	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
Параболічний циліндр	$x^{2}+2ay=0\,$

Афінний та проєктивний простір

Класифікація квадрик у тривимірному афінному просторі збігається з класифікацією квадрик в евклідовому просторі. Різниця полягає в тому, що будь-які дві квадрики з одного класу можна перевести одну в одну афінним перетворенням, тоді як відповідне ортогональне перетворення існує не завжди (наприклад, еліпсоїд $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ неможливо перевести рухом в еліпсоїд $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=1$).

Від квадрики в афінному просторі можна перейти до квадрики в проєктивному просторі, ввівши однорідні координати. Нехай у афінному просторі введені координати $(x_{1},x_{2},\ldots x_{n+1}),$ тоді в рівнянні квадрики достатньо помножити лінійні члени на $x_{0},$ а вільний член на $x_{0}^{2}.$ Рівняння проєктивної квадрики в однорідних координатах має вигляд

$Q(x)=\sum _{ij}a_{ij}x_{i}x_{j}=0.$

Без обмеження спільності можна вважати, що матриця $Q$ симетрична, тобто $a_{ij}=a_{ji}.$ Проєктивна квадрика називається невиродженою, якщо відповідна їй квадратична форма невирождена.

У дійсному проєктивному просторі, відповідно до закону інерції, будь-яку невироджену квадратну форму можна звести (проєктивним перетворенням) до вигляду

$Q(x)=\pm x_{0}^{2}\pm x_{1}^{2}\pm \cdots \pm x_{n+1}^{2}$

Оскільки сигнатура квадратичної форми є її інваріантом, в розмірності n = 2 існує рівно три класи еквівалентності:

$Q(x)={\begin{cases}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{cases}}$

Еліпсоїд, еліптичний параболоїд і двопорожнинний гіперболоїд належать другому класу, а гіперболічний параболоїд і однопорожнинний гіперболоїд — третьому (останні дві квадрики є прикладами лінійчатих поверхонь). Жодна квадрика в дійсному проєктивному просторі не належить першому класу, тому що відповідне рівняння визначає точку, а не поверхню. У комплексному проєктивному просторі всі невироджені квадрики еквівалентні.

Імовірність і статистика

Еліптичний розподіл, узагальнює багатовимірний нормальний розподіл і використовується в галузі фінансів, може бути визначеним з точки зору його функцій щільності. Коли він існує, функції щільності F мають структуру:

$f(x)=k\cdot g((x-\mu )\Sigma ^{-1}(x-\mu )^{T})$

де $k$ це масштабний коефіцієнт, $x$ це $n$-мірний випадковий вектор-рядок з середнім вектором $\mu$, $\Sigma$ це позитивна матриця, яка пропорційна коваріаційній матриці, якщо остання існує, та $g$ є функцією, що відображає від невід'ємних до невід'ємних чисел кінцеву площу під кривою. Багатовимірний нормальний розподіл є окремим випадком, в якому$g(z)=e^{-z/2}$ для квадратичної форми $z$.

Таким чином, функція щільності є скалярним перетворенням квадратичного виразу. Крім того, рівняння для будь-якої поверхні з щільністю заявляє, що квадратичний вираз дорівнює деякій константі, що відносяться до цього значення щільності.