Теорія множин Цермело

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорія множин Цермелотеорія множин, що включає в себе 7 аксіом, опублікована німецьким математиком Ернстом Цермело у 1908 році. Система аксіом Цермело для теорії множин була створена тому, що в інтуїтивній теорії множин Георга Кантора були виявлені парадокси і аксіоматизація виявилася єдиним виходом із становища. Першу версію системи аксіом теорії множин Цермело опублікував у 1908 році, вона включала 7 аксіом. Пізніше Абрахам Френкель і Торальф Сколем вдосконалили її (розширивши до 10 аксіом).

Аксіоми Теорії множин Цермело[ред. | ред. код]

AXIOM I. Аксіома об’ємності (екстенсіональності). Дві множини збігаються (рівні між собою) тоді й лише тоді, коли вони мають одні й ті самі елементи:

Замість поданого твердження інколи записують, що елементи вважають однаковими, якщо вони належать до одних і тих самих множин. Інакше кажучи, їх неможливо розрізнити за допомогою належності до множин:

AXIOM II. Аксіома пари: Із двох довільних [однакових чи різних] множин можна утворити [щонайменше одну] невпорядковану пару, тобто таку множину , кожний елемент якої ідентичний даній множині або даній множині »
AXIOM III. Аксіомна схема виділення. Для довільної множини і властивості (предиката, висловлювання системи ) існує множина , елементами якої є ті й лише ті елементи множини , які мають властивість (при яких справджується Р):
.

Тут не входить у запис .

AXIOM IV. Аксіома булеана. Для довільної множини існує множина , елементами якої є ті й лише ті елементи, що є підмножинами .
.

З використанням відношення підмножини останню формулу можна спростити:

.

Таку множину називають булеаном множини та позначають або .

Для скінченних множин справджується рівність . Тут — кількість елементів множини .

AXIOM V. Аксіома об’єднання. Аксіому об’єднання можна сформулювати наступним чином: "З будь-якого сімейства множин можна утворити як мінімум одну таку множину , кожен елемент якої належить хоча б одній множині даного сімейства " :
AXIOM VI. Аксіома вибору. Для довільної множини існує функція , що вибирає з кожного непорожнього елемента множини єдиний елемент :
.
AXIOM VII. Аксіома нескінченності. Існує така множина , що містить порожню множину та для довільного належного до неї елемента y включає також і множину, утворену об’єднанням та:
.

За допомогою раніше означеного предикату цю аксіому можна записати так:

Оригінальна система ZF[ред. | ред. код]

Основним задумом Цермело було те, щоб обмежити сферу застосування аксіоматики в системі Z лише такими множинами, розгляд яких не призводить до парадоксів. Першою аксіоматикою такого роду була система Z Цермело (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і А.Френкель (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав аксіомою підстановки. Отриману систему назвають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF. Ця система аксіом містить єдине примітивне онтологічне (фундаментальне) поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі досліджувані об’єкти є множинами. Запроваджено єдине бінарне відношення приналежності до множини. Отже система аксіом Цермело видозмінювалась і розширювалась з 1907 року по 1930 рік. Доповненням до системи стали такі аксіоми як Аксіома регулярності і Аксіома підстановки Френкеля.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]