Теорія множин Цермело

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія множин Цермело - теорія множин, що включає в себе 7 аксіом опублікована німецьким математиком Ернстом Цермело у 1908 році. Система аксіом Цермело для теорії множин була створена тому що,в інтуїтивній теорії множин Г.Кантора були виявлені парадокси і аксіоматизация виявилася єдиним виходом з положення. Першу версію системи аксіом теорії множин Цермело опублікував у 1908 році, вона включала 7 аксіом. Пізніше Абрахам Френкель і Торальф Сколем вдосконалили її (розширивши до 10 аксіом).

Аксіоми Теорії множин Цермело[ред.ред. код]

AXIOM I. Аксіома об’ємності (екстенсиональності). Дві множини збігаються (рівні між собою) тоді й лише тоді, коли вони мають одні й ті самі елементи:
:

Замість поданого твердження інколи записують, що елементи вважають однаковими, якщо вони належать до одних і тих самих множин. Інакше кажучи, їх неможливо розрізнити за допомогою належності до множин:

:
AXIOM II. Аксіома згортання. Для довільної формули ,що не містить параметра ,
:,

тобто існує множина , що містить ті й лише ті елементи, для яких справджується формула .

AXIOM III. Аксіома схеми виділення. Для довільної множини і властивості (предиката, висловлювання системи ) існує множина , елементами якої є ті й лише ті елементи множини , які мають властивість (при яких справджується Р):
:.

Тут не входить у запис .

AXIOM IV. Аксіома булеана. Для довільної множини існує множина , елементами якої є ті й лише ті елементи, що є підмножинами .
:.

З використанням відношення підмножини останню формулу можна спростити:

:.

Таку множину називають булеаном множини та позначають або .

Для скінченних множин справджується рівність . Тут — кількість елементів множини .

AXIOM V. Аксіома об’єднання. Аксіому об’єднання можна сформулювати наступним чином: "З будь-якого сімейства множин можна утворити як мінімум одну таку множину , кожен елемент якої належить хоча б одній множині даного сімейства " :
:
AXIOM VI. Аксіома вибору. Для довільної множини існує функція , що вибирає з кожного непорожнього елемента множини єдиний елемент :
:.
AXIOM VII. Аксіома нескінченності. Існує така множина , що містить порожню множину та для довільного належного до неї елемента y включає також і множину, утворену об’єднанням та:
:.

За допомогою раніше означеного предикату цю аксіому можна записати так:

.

Оригінальна система ZF[ред.ред. код]

Основним задумом Цермело було те, щоб обмежити сферу застосування аксіономатики в системі Z лише такими множинами, розгляд яких не призводить до парадоксів. Першою аксіоматикою такого роду була система Z Цермело (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і А.Френкель (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав аксіомою підстановки. Отриману систему назвають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF. Ця система аксіом містить єдине примітивне онтологічне (фундаментальне) поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі досліджувані об’єкти є множинами. Запроваджено єдине бінарне відношення приналежності до множини. Отже система аксіом Цермело видозмінювалась і розширювалась з 1907 року по 1930 рік. Доповненням до системи стали такі аксіоми як Аксіома регулярності і Аксіома підстановки Френкеля.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]