Фактор-кільце

В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця $R$ за допомогою деякого його ідеалу $I$. Позначається $R/I$.

Визначення

Нехай $R$ — кільце, а $I$ — деякий його (двосторонній) ідеал. На $R$ можна задати відношення еквівалентності $\sim$:

$a\sim b$ тоді і тільки тоді, коли $b-a\in I$.

Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:

• Тоді $a-a=0\in I$ тобто $a\sim a$.
• Якщо $b-a\in I$ то також $a-b=-(b-a)\in I$, тобто з $a\sim b$ випливає $b\sim a$.
• Якщо $b-a\in I$ та $c-b\in I$ то також $c-a=(c-b)+(b-a)\in I$, тобто з $a\sim b$ та $b\sim c$ випливає $a\sim c$.

Отже відношення $a\sim b$ є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.

Нехай

$[a]=a+I=\{a+r:r\in I\}$

позначає клас еквівалентності елемента $a$. Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається $R/I$.

На даній множині можна ввести операції додавання і множення:

$[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]$

$[a]\cdot [b]=(a+I)\cdot (b+I)=a\cdot b+I=[a\cdot b]$

Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай $a+I=a_{1}+I$ та $b+I=b_{1}+I$. Тоді $a-a_{1}=i\in I$ та $b-b_{1}=j\in I$. Звідси $a+b=a_{1}+b_{1}+i+j$ та $ab=(a_{1}+i)(b_{1}+j)=a_{1}b_{1}+ib_{1}+a_{1}j+ij$. Оскільки $i+j,ib_{1},a_{1}j,ij\in I$ одержується $a+b+I=a_{1}+b_{1}+i+j+I$ та $ab+I=a_{1}b_{1}+I$, що доводить несуперечливість визначення.

Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця $R$ за ідеалом $I$.

Приклади

• Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів $\{0\}$ і самого кільця $R$. $R/\{0\}$ є ізоморфним до $R$, а $R/R$ є тривіальним кільцем $\{0\}$.

• Нехай $\mathbb {Z}$ — кільце цілих чисел, а $2\mathbb {Z}$— кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, $\mathbb {F} _{2}$. Більш загально можна розглянути фактор-кільце $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, що є ізоморфним кільцю лишків за модулем $n$.

• Нехай $\mathbb {R} [x]$ кільце многочленів від змінної $X$ з дійсними коефіцієнтами, і ідеал $I=(X^{2}+1)$ складається з усіх добутків многочлена $X^{2}+1$ на інші многочлени. Фактор-кільце $\mathbb {R} [x]/(X^{2}+1)$ є ізоморфним полю комплексних чисел $\mathbb {C}$, і клас еквівалентності $[X]$ відповідає уявній одиниці $i$.

• Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля. Нехай $K$ — деяке поле і $f$ незвідний многочлен в $K[X]$.Тоді $L=K[X]/(f)$ є полем, що містить $K$.

Властивості

• Якщо $R$ — комутативне кільце то кільце $R/I$ теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
• Теорема про гомоморфізм кілець:

Якщо $f$ — епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця $\mathrm {K}$ на кільце $\mathrm {R}$, то ядро $\ker \,f$ є ідеалом кільця $\mathrm {K}$, причому кільце $\mathrm {R}$ ізоморфне фактор-кільцю $\mathrm {K} /\ker \,f$.

Навпаки: якщо $\mathrm {J}$ — ідеал кільця $\mathrm {K}$, то відображення $f:\mathrm {K} \to \mathrm {K/J}$, визначене умовою $f(a)=a+\mathrm {J} ,\forall a\in \mathrm {K}$ є гомоморфізмом кільця $\mathrm {J}$ на $\mathrm {K/J}$ з ядром $\mathrm {J}$.

• Ідеал $\mathrm {J}$ кільця $\mathrm {K}$ є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце $\mathrm {K/J}$ є областю цілісності(полем).
• Між ідеалами кілець $\mathrm {R}$ і $\ R/I$ існує тісний зв'язок. А саме ідеали $\ R/I$ знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця $\mathrm {R}$, що містять ідеал $\ I$ як підмножину. Якщо $\ I\subset J$ такий ідеал кільця $\mathrm {R}$ йому ставиться у відповідність ідеал $\ J/I$ кільця $\ R/I$. До того ж фактор-кільця $\ R/J$ і $\ (R/I)/(J/I)$ є ізоморфними через природний гомоморфізм $h:\ R/J\to (R/I)/(J/I)$, для якого $h(a+J)=(a+I)+J/I.$

Див. також

• Фактор-множина
• Фактор-група
• Фактор-простір

Посилання

• Фактор-кільце [Архівовано 14 травня 2011 у Wayback Machine.] на сайті PlanetMath.

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Бондаренко Є.В. (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)

Іншими мовами

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)