Факторкільце

В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця $\ R$ за допомогою деякого його ідеалу $\ I$. Позначається $\ R/I$.

Визначення

Нехай R — кільце, а I — деякий його (двосторонній) ідеал. На R можна задати відношення еквівалентності ~:

a~b тоді і тільки тоді, коли $\ b-a\in I$.

Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:

• Тоді $\ a-a=0\in I$ тобто a~a.
• Якщо $\ b-a\in I$ то також $\ a-b=-(b-a)\in I$, тобто з a~b випливає b~a.
• Якщо $\ b-a\in I$ та $\ c-b\in I$ то також $\ c-a=(c-b)+(b-a)\in I$, тобто з a~b та b~c випливає a~c.

Отже відношення a~b є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.

Нехай

$\,[a]=a+I=\{a+r:r\in I\}$

позначає клас еквівалентності елемента a. Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається R/I.

На даній множині можна ввести операції додавання і множення:

$\,[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]$

$\,[a]\cdot [b]=(a+I)\cdot (b+I)=a\cdot b+I=[a\cdot b]$

Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай $\ a+I=a_{1}+I$ та $\ b+I=b_{1}+I$. Тоді $a-a_{1}=i\in I$ та $b-b_{1}=j\in I$. Звідси $\ a+b=a_{1}+b_{1}+i+j$ та $\ ab=(a_{1}+i)(b_{1}+j)=a_{1}b_{1}+ib_{1}+a_{1}j+ij$. Оскільки $\ i+j,ib_{1},a_{1}j,ij\in I$ одержується $\ a+b+I=a_{1}+b_{1}+i+j+I$ та $\ ab+I=a_{1}b_{1}+I$, що доводить несуперечливість визначення.

Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця R по ідеалу I.

Приклади

• Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів {0} і самого кільця R. R/{0} є ізоморфним до R, а R/R є тривіальним кільцем {0}.

• Нехай Z — кільце цілих чисел, а 2Z— кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце Z/2Z має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, F₂. Більш загально можна розглянути фактор-кільце Z/nZ, що є ізоморфним кільцю лишків за модулем n.

• Нехай R[X] кільце многочленів від змінної X з дійсними коефіцієнтами, і ідеал I = (X² + 1) складається з усіх добутків многочлена X² + 1 на інші многочлени. Фактор-кільце R[X]/(X² + 1) є ізоморфним полю комплексних чисел C, і клас еквівалентності [X] відповідає уявній одиниці i.

• Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля. Нехай K — деяке поле і f незвідний многочлен в K[X].Тоді L = K[X]/(f) є полем, що містить K.

Властивості

• Якщо R — комутативне кільце то кільце R/I теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
• Теорема про гомоморфізм кілець:

Якщо $f$ — епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця $\mathrm {K}$ на кільце $\mathrm {R}$, то ядро $\ker \,f$ є ідеалом кільця $\mathrm {K}$, причому кільце $\mathrm {R}$ ізоморфне фактор-кільцю $\mathrm {K} /\ker \,f$.

Навпаки: якщо $\mathrm {J}$ — ідеал кільця $\mathrm {K}$, то відображення $f:\mathrm {K} \to \mathrm {K/J}$, визначене умовою $f(a)=a+\mathrm {J} ,\forall a\in \mathrm {K}$ є гомоморфізмом кільця $\mathrm {J}$ на $\mathrm {K/J}$ з ядром $\mathrm {J}$.

• Ідеал $\mathrm {J}$ кільця $\mathrm {K}$ є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце $\mathrm {K/J}$ є областю цілісності(полем).
• Між ідеалами кілець $\mathrm {R}$ і $\ R/I$ існує тісний зв'язок. А саме ідеали $\ R/I$ знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця $\mathrm {R}$, що містять ідеал $\ I$ як підмножину. Якщо $\ I\subset J$ такий ідеал кільця $\mathrm {R}$ йому ставиться у відповідність ідеал $\ J/I$ кільця $\ R/I$. До того ж факторкільця $\ R/J$ і $\ (R/I)/(J/I)$ є ізоморфними через природний гомоморфізм $h:\ R/J\to (R/I)/(J/I)$, для якого $h(a+J)=(a+I)+J/I.$

Див. також

• Фактормножина
• Факторгрупа
• Факторпростір

Посилання

• Фактор-кільце на сайті PlanetMath.

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с.(рос.)