Факторкільце
В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця за допомогою деякого його ідеалу . Позначається .
Визначення[ред. • ред. код]
Нехай R — кільце, а I — деякий його (двосторонній) ідеал. На R можна задати відношення еквівалентності ~:
- a~b тоді і тільки тоді, коли .
Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:
- Тоді тобто a~a.
- Якщо то також , тобто з a~b випливає b~a.
- Якщо та то також , тобто з a~b та b~c випливає a~c.
Отже відношення a~b є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.
Нехай
позначає клас еквівалентності елемента a. Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається R/I.
На даній множині можна ввести операції додавання і множення:
Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай та . Тоді та . Звідси та . Оскільки одержується та , що доводить несуперечливість визначення.
Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця R по ідеалу I.
Приклади[ред. • ред. код]
- Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів {0} і самого кільця R. R/{0} є ізоморфним до R, а R/R є тривіальним кільцем {0}.
- Нехай Z — кільце цілих чисел, а 2Z— кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце Z/2Z має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, F2. Більш загально можна розглянути фактор-кільце Z/nZ, що є ізоморфним кільцю лишків за модулем n.
- Нехай R[X] кільце многочленів від змінної X з дійсними коефіцієнтами, і ідеал I = (X2 + 1) складається з усіх добутків многочлена X2 + 1 на інші многочлени. Фактор-кільце R[X]/(X2 + 1) є ізоморфним полю комплексних чисел C, і клас еквівалентності [X] відповідає уявній одиниці i.
- Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля. Нехай K — деяке поле і f незвідний многочлен в K[X].Тоді L = K[X]/(f) є полем, що містить K.
Властивості[ред. • ред. код]
- Якщо R — комутативне кільце то кільце R/I теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
- Теорема про гомоморфізм кілець:
- Якщо — епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця на кільце , то ядро є ідеалом кільця , причому кільце ізоморфне фактор-кільцю .
- Навпаки: якщо — ідеал кільця , то відображення , визначене умовою є гомоморфізмом кільця на з ядром .
- Ідеал кільця є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце є областю цілісності(полем).
- Між ідеалами кілець і існує тісний зв'язок. А саме ідеали знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця , що містять ідеал як підмножину. Якщо такий ідеал кільця йому ставиться у відповідність ідеал кільця . До того ж факторкільця і є ізоморфними через природний гомоморфізм , для якого
Див. також[ред. • ред. код]
Посилання[ред. • ред. код]
- Фактор-кільце на сайті PlanetMath.
Література[ред. • ред. код]
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с.(рос.)