Факторкільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця за допомогою деякого його ідеалу . Позначається .

Визначення[ред.ред. код]

Нехай R — кільце, а I — деякий його (двосторонній) ідеал. На R можна задати відношення еквівалентності ~:

a~b тоді і тільки тоді, коли .

Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:

  • Тоді тобто a~a.
  • Якщо то також , тобто з a~b випливає b~a.
  • Якщо та то також , тобто з a~b та b~c випливає a~c.

Отже відношення a~b є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.

Нехай

позначає клас еквівалентності елемента a. Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається R/I.

На даній множині можна ввести операції додавання і множення:

Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай та . Тоді та . Звідси та . Оскільки одержується та , що доводить несуперечливість визначення.

Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця R по ідеалу I.

Приклади[ред.ред. код]

  • Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів {0} і самого кільця R. R/{0} є ізоморфним до R, а R/R є тривіальним кільцем {0}.
  • Нехай Z — кільце цілих чисел, а 2Z— кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце Z/2Z має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, F2. Більш загально можна розглянути фактор-кільце Z/nZ, що є ізоморфним кільцю лишків за модулем n.
  • Нехай R[X] кільце многочленів від змінної X з дійсними коефіцієнтами, і ідеал I = (X2 + 1) складається з усіх добутків многочлена X2 + 1 на інші многочлени. Фактор-кільце R[X]/(X2 + 1) є ізоморфним полю комплексних чисел C, і клас еквівалентності [X] відповідає уявній одиниці i.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо R — комутативне кільце то кільце R/I теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
  • Теорема про гомоморфізм кілець:
Якщо епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця на кільце , то ядро є ідеалом кільця , причому кільце ізоморфне фактор-кільцю .
Навпаки: якщо — ідеал кільця , то відображення , визначене умовою є гомоморфізмом кільця на з ядром .

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]