Уявне число

... (повторюється послідовність виділена синім)

i−3 = i

i−2 = −1

i−1 = −i

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

i5 = i

i6 = −1

in = in(mod 4)

Уявне число— це комплексне число, яке може бути записане як дійсне число, помножене на уявну одиницю і, що визначається властивістю $i^{2}=-1.\$ Квадрат числа b*i дорівнює −b². Наприклад, 5*і— це уявне число, що при піднесенні до квадрата дає -25. За винятком 0 (що є як реальним, так і уявним числом) уявні числа при піднесенні до квадрата дають від'ємні числа.

Якщо уявне число b*i додати до дійсного числа а, то отримаємо комплексне число виду а+b*i, де числа а і b називаються відповідно дійсна та уявна частини комплексного числа. Таким чином, уявні числа можна розглядати як комплексні, у яких дійсна частина дорівнює нулю. Зараз термін «уявне число» означає комплексне число, у якого дійсна частина дорівнює нулю, тобто число виду b*i.

Деякі автори використовують термін «чисто уявне число», аби вказати на уявне число, а термін «уявне число», щоб позначити будь-яке комплексне число, що не є дійсним (тобто має ненульову уявну частину).

Історія

Хоч Герон Александрійський вважається першим, хто відкрив ці числа, Рафаель Бомбеллі першим записав правила множення комплексних чисел у 1572 році. Проте, необхідно зазначити, що ця концепція була опублікована ще раніше, наприклад, у праці Джироламо Кардано (1501—1576). На той час значення таких чисел було мало зрозумілим, і вони вважалися вигаданими та непотрібними, як і нуль та від'ємні числа колись. На те, щоб зрозуміти користь від уявних чисел, вченим знадобилось немало часу. Одним з таких вчених був Рене Декарт (1596—1650), який дослідив уявні числа у своїй праці «Геометрія», де термін «уявний» було використано у зневажливому значенні. Користь уявних чисел не була широко визнана до появи робіт Леонарда Ейлера (1707—1783) і Карла Фрідріха Гаусса (1777—1855). Геометричне представлення комплексних чисел як точок на площині було вперше описано Каспаром Весселем (1745—1818).

У 1843 ірландський фізик та математик Вільям Ровен Гамільтон (1805—1865) переніс ідею осі уявних чисел на площині до тривимірного простору уявних кватерніонів.

З розвитком теорій фактор-кілець та кілець многочленів концепція уявних чисел ставала все більш значущою, але потім було відкрито інші різновиди уявних чисел, як, наприклад, бі-комплексне число j, що при піднесенні до квадрата дає +1. Ця ідея вперше з'явилася у статтях Джеймса Кокла у 1848 році.

Геометрична інтерпретація

Обертання на 90 градусів у комплексній площині

Геометрично уявні числа знаходяться на вертикальній осі площини комплексних чисел, тобто перпендикулярно до осі дійсних чисел. Один зі способів представлення уявних чисел — розглянути стандартну числову вісь, значення додатних чисел на якій збільшується при русі праворуч, а від'ємних — ліворуч. Через точку 0 на осі Х проходить вісь Y, значення чисел на якій зростають у напрямку вгору. Тоді «додатні» уявні числа збільшують значення при русі вгору, а «від'ємні» — вниз. Цю вертикальну вісь часто називають «уявною» та позначають $i\mathbb {R}$, $\mathbb {I}$ або ℑ.

При такому зображенні, множення на -1 відповідає обертанню на 180 градусів відносно початку координат. Множення на і відповідає обертанню на 90 градусів у «додатному» напрямку (тобто проти годинникової стрілки), а рівняння  i² = −1 означає, що, якщо зробити два оберти на 90 градусів відносно 0, кінцевим результатом буде один оберт на 180 градусів. Слід звернути увагу на те, що при оберті у «від'ємному» напрямку (тобто за годинниковою стрілкою) результат також задовольняє цьому рівнянню. Це відображає той факт, що й –і є коренем рівняння x² = −1.

Операція множення квадратних коренів

Треба бути обережним, перемножуючи квадратні корені від'ємних чисел.

Наприклад, наступне міркування не є вірним:

$-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1$

Помилка полягає в тому, що правило ${\sqrt {x}}{\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}$, де арифметичне значення кореня розглянуто для довільних значень x та y, є дійсним лише у тому випадку, якщо x та y відповідним чином обмежені. Не можна поширювати це визначення арифметичного значення кореня на квадратні корені всіх комплексних чисел таким чином, при якому зберігається правильність законів множення. Отже, вираз ${\sqrt {-1}}$ у даному контексті повинен розглядатися як беззмістовний, або двозначний вираз, що може набувати значень $i$ та $-i$.

Див. також

• Комплексне число
• Уявна одиниця
• Уявний час