Взаємна інформація

Взаємна інформація — статистична функція двох випадкових величин, що описує кількість інформації, яка міститься в одній випадковій величині відносно іншої.

Взаємна інформація визначається через ентропію та умовну ентропію двох випадкових величин як

$I\left( {X;Y} \right) = H\left( X \right) - H\left( {X|Y} \right) = H\left( X \right) + H\left( Y \right) - H\left( {X,Y} \right)$

Властивості взаємної інформації

• Взаємна інформація є симетричною функцією випадкових величин:

$I\left( {X;Y} \right) = I\left( {Y;X} \right)$

• Взаємна інформація невід'ємна і не перевищує інформаційну ентропію арґументів:

$0 \le I\left( {X;Y} \right) \le \min \left[ H\left( X \right), H\left( Y \right) \right]$

Зокрема, для незалежних випадкових величин взаємна інформація дорівнює нулю:

$I\left( {X;Y} \right) = H \left( X \right) - H \left( X | Y \right) = H \left( X \right) - H \left( X \right) = 0$

У випадку, коли одна випадкова величина (наприклад, $X$) є визначеною функцією іншої випадкової величини ($Y$), взаємна інформація дорівнює ентропії:

$I\left( {X;Y} \right) = H \left( X \right) - H \left( X | Y \right) = H \left( X \right) - 0 = H \left( X \right)$

Умовна і безумовна взаємна інформація

Умовна взаємна інформація — статистична функція трьох випадкових величин, що описує кількість інформації, яка міститься в одній випадковій величині відносно іншої, за умови заданого значення третьої величини:

$I\left( {X;Y|Z = z} \right) = H\left( {X|Z = z} \right) - H\left( {X|Y,Z = z} \right)$

Безумовна взаємна інформація — статистична функція трьох випадкових величин, що описує кількість інформації, що міститься в одній випадковій величині по відношенню до іншої, при умові заданої третьої випадкової величини:

$I\left( {X;Y|Z} \right) = H\left( {X|Z} \right) - H\left( {X|Y,Z} \right)$

Властивості

• Умовна і безумовна взаємні інформації є симетричними:

$I\left( {X;Y | Z } \right) = I\left( {Y;X | Z } \right)$

$I\left( {X;Y | Z = z} \right) = I\left( {Y;X | Z = z} \right)$

• Задовільняють нерівностям:

$0 \le I\left( {X;Y | Z } \right) \le \min \left[ H \left( {X | Z } \right), H \left( {Y | Z } \right) \right]$

$0 \le I\left( {X;Y | Z = z} \right) \le \min \left[ H \left( {X | Z = z} \right), H \left( {Y | Z = z} \right) \right]$

Література

• Габидулин, Э. М., Пилипчук, Н. И. Лекции по теории информации. — М.: МФТИ, 2007. — 214 с. — ISBN 5-7417-0197-3