Багатократний інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Багатокра́тний інтегра́л степеня n, це інтеграл по n змінних з функції n змінних:

$\int \int \int \cdots \int f(x_1,x_2,x_3,\cdots x_n ) \;dx_1 \;dx_2 \;dx_3 \cdots \;dx_n$

.

Окремі випадки багатократного інтеграла це:

подвійний інтеграл:

$\int \int f(x,y) \;dx \;dy$

потрійний інтеграл:

$\int \int \int f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz$

[ред.] Геометрична інтерпретація

Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею z = x² − y². Прямокутний регіон у основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох зміних буде інтегруватися

Нехай функція $f\left( x,y \right)$ приймає в області $\ D$ тільки позитивні значення. Тоді подвійний інтеграл $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)d\sigma }$ чисельно дорівнює об'єму $\ V$ вертикального циліндрового тіла, побудованого на оставі $\ D$ і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні $z=f\left( x,y \right)$ .