Число Керол

Число Керол — ціле число вигляду $4^{n}-2^{n+1}-1$.

Еквівалентна форма $(2^{n}-1)^{2}-2$.

Декілька перших чисел Керол:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16 127, 65 023, 261 119, 1 046 527 — послідовність A093112 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Числа Керол вперше вивчав Клетус Еммануель (Cletus Emmanuel), який назвав їх ім'ям своєї подруги — Керол Г. Кірнон (Carol G. Kirnon).

Для $n>2$ двійкове подання n -го числа Керол складається з $n-2$ послідовних одиниць, одного нуля і ще $n+1$ послідовних одиниць, або, в алгебричній формі,

$\sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}.$

Таким чином, наприклад, 47 відповідає двійковий запис 101111, а 223 — 11011111.

Різниця між 2n-им простим числом Мерсенна та n-им числом Керол дорівнює $2^{n+1}$. Це дає ще один еквівалентний вираз для чисел Керол: $(2^{2n}-1)-2^{n+1}$. Різниця між n-им числом Кайні та n-им числом Керол дорівнює $2^{n+2}$.

Починаючи з 7, кожне третє число Керол ділиться на 7.

Отже, щоб число Керол було простим, його індекс n повинен відрізнятися від $3x+2$ для $x>0$.

Перші кілька чисел Керол, які також є простими числами:

7, 47, 223, 3967, 16 127 — послідовність A091516 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

На липень 2007 року найбільше відоме число Керол, яке є простим, — число для $n=253987$, що має 152 916 знаків. У травні 2007 року його знайшов Клетус Еммануель, скориставшись програмами MultiSieve та PrimeFormGW. Це 40-ве просте число Керол.

7-ме число Керол (5-те просте число Керол) — 16127, записане у зворотному порядку, дає просте число. Таке ж властивість має 12-те число Керол (7-ме просте число Керол) — 16769023.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Near-Square Prime(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Prime Database entry for Carol(226749)
• Prime Database entry for Carol(248949)