Інтеграл Гауса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік f(x) = ex2 і площа між функцією та x-віссю, що дорівнює π.

Інтеграл Гауса, також відомий як інтеграл Ейлера-Пуассона — це інтеграл функції Гауса ex2 над усією областю дійсних чисел. Названий на честь німецького математика Карла Фрідріха Гауса, і має вигляд

Абрахам де Муавр першим відкрив цей тип інтегралів у 1733~р. Тоді як Гаусс опублікував точний інтеграл у 1809 р.[1] Інтеграл має широкий спектр застосувань. Наприклад, за допомогою простої заміни змінних, використовується для обчислення нормалізуючої константи нормального розподілу. Цей же інтеграл з фіксованими межами тісно пов'язаний як з функцією помилок так і з кумулятивною функцією нормального розподілу. У фізиці цей тип інтеграла часто з'являється, наприклад, в квантовій механіці, при знаходженні густини ймовірності основного стану гармонічного осцилятора. Цей інтеграл також використовується в означенні інтеграла вздовж траєкторії для знаходження функції поширення гармонічного осцилятора, а також у статистичній механіці для знаходження функції розбиття.

Хоча функцію помилок не можна представити елементарні функції, як це можна довести за допомогою алгоритму Ріша,[2] все ж інтеграл Гаусса можна обчислити аналітичними методами аналізу функцій багатьох змінних. Тобто, невизначений інтеграл

не інтегрується в елементарних функціях, але визначений інтеграл

можна обчислити. Визначений інтеграл довільної функції Гаусса дорівнює

Обчислення[ред. | ред. код]

В полярних координатах[ред. | ред. код]

Стандартний спосіб обчислення інтеграла Гаусса, що був запропонований Пуассоном, базується на використанні наступної властивості:[3] базується на використанні наступної властивості:

Розглянемо функцію у просторі , та обчислимо інтеграл від неї двома способами.:

  1. З однієї сторони, як подвійний інтеграл в декатровій системі координат, він дорівнює квадрат інтеграла Гаусса:
  2. З іншої сторони, за допомогою методу знаходження об'єму тіла обертання (випадок подвійного інтеграла у полярних координатах), цей інтеграл дорівнює

З цих двох обчислень отримаємо шукане значення для інтеграла Гаусса, хоча при цьому слід подбати про відповідні невласні інтеграли:

де множник r-якобіан, який з'являється при переході до полярних координат у подвійному інтегралі (r dr  - стандартна міра на площині записана в полярних координатах , і інтегрування включає заміну s = −r2, а тому ds = −2r dr.

Таким чином,

Тоді:

.

Повне доведення[ред. | ред. код]

Для обґрунтування невласних подвійних інтегралів та прирівнювання двох співвідношень, розпочнемо з апроксимуючої функції:

Якби інтеграл

був би абсолютно збіжним, то ми б отримали головне значення інтеграла за Коші,тобто границя

співпадала б з інтегралом

Щоб побачити це врахуємо, що

Таким чином, для обчислення інтеграла

потрібно знайти границю

.

Підносячи до квадрату, отримаємо

Використовуючи теорему Фубіні, вищевказаний подвійний інтеграл можна розглядати як поверхневий інтеграл

взятий над квадратом з вершинами {(−aa), (aa), (a, −a), (−a, −a)} на площині xy.

Оскільки, для всіх дійсних чисел, експоненціальна функція більша за 0, то звідси випливає, що інтеграл, взятий над вписаним кругом, повинен бути меншим за , і аналогічно інтеграл, взятий над описаним кругом, повинен бути більшим ніж . Інтеграли над двома кругами легко обчислити, перейшовши від декартової системи координат до полярної системи координат:

(Див. Полярні координати з декартових координат щодо відповідних перетворень.)

Після інтегрування отримуємо

За теоремою про двох поліцейських, отримаємо значення інтеграла Гаусса:

У декартових координатах[ред. | ред. код]

Інша техніка, яка сходить до Лапласа (1812),[3] , полягає в наступному. Покладемо

Оскільки границі відносно s приy → ±∞ , залежать від знаку x, то для спрощення обчислень використовуємо той факт, що ex2 є парною функцією і, отже, інтеграл на множині всіх дійсних чисел удвічі більший ніж інтеграл від нуля до нескінченності:

Таким чином, при x ≥ 0, для змінних y and s маємо однакові границі. Тобто,

Отже, як і очікувалося, .

Зв'язок з гамма-функцією[ред. | ред. код]

Підінтегральна функція - це парна функція, тому

Таким чином, цей інтеграл після заміни змінної перетворюється на інтеграл Ейлера:

де гамма-функція.Це показує, чому факторіал напівцілого числа є раціональним, домножиним на . У загальному випадку,

який можна отримати виконавши заміну в підінтегральній функції гамма-функції:

.

Узагальнення[ред. | ред. код]

Інтеграл функції Гаусса[ред. | ред. код]

Результатом обчислення інтеграла довільної функції Гаусса є

Альтернативною формою є

Ця форма корисна для обчислення математичних сподівань деяких неперервних розподілів, пов'язаних із нормальним розподілом, наприклад, для логнормального розподілу.

n-мірне та функціональне узагальнення[ред. | ред. код]

Припустимо, A - симетрична, додатньо визначена (отже, має обернену) матриця n × n яка є оберненою до коваріаційної матриці. Тому,

де інтеграл розуміється над Rn. Цей факт застосовується при дослідженні багатовимірного нормального розподілу. Також

де σ - перестановка множин {1, ..., 2N}, а додатковий коефіцієнт у правій частині -

це сума за всіма комбінаторними парами множини {1, ..., 2N} з N копій матриці A−1.

Крім того,[4]

для деякої аналітичної функції f, за умови, що вона задовольняє деяким відповідним обмеженням щодо свого зростання та деяким іншим технічним критеріям. (Для деяких функцій вона працює, наприклад, для поліномів. А для деяких - ні.) Піднесення до степеня диференціальним оператором розуміється в сенсі степеневих рядів.

Хоча функціональні інтеграли не мають чіткого означення (або навіть їх неможливо строго обчислити в більшості випадків),

проте ми можемо визначити функціональний інтеграл Гаусса аналогічно скінченновимірному випадку. Але проблема все ж залишається, оскільки є нескінченністю, а також функціональний детермінант буде нескінченним у загальному випадку. Проте це можна обійти, якщо розглянути відношення:

В позначеннях ДеВіта це співвідношення виглядає аналогічно скінченновимірному випадку.

n- мірний з лінійним членом[ред. | ред. код]

Якщо A знову є  симметричною, додатньо визначеною  матрицею, тоді (при умові, що всі вектори є вектор-стовпцями):

Інтеграли подібної форми[ред. | ред. код]

Де - натуральне число, - подвійний факторіал.

Простий спосіб їх отримання --- це диференціювання під знаком інтеграла:

Також можна використовувати інтегрувати частинами та знайти відповідне рекурентне співвідношення.

Поліноми вищих порядів[ред. | ред. код]

Використання лінійної заміни базису показує, що інтеграл експоненти, в степені якої однорідний многочлен від n - змінних, може залежати тільки від - інваріантів многочлена. Одним з таких інваріантів є дискримінант, нулі якого позначають особливості інтеграла. Проте інтеграл також може залежати від других інваріантів.

Експоненту, в степені якої другі парні многочлени, можна чисельно обчислити за допомогою рядів.

Вони можуть бути інтерпритовані як формальные обчислення, коли немає збіжності. Наприклад, обчислення інтеграла від експоненти, в степені якої поліном четвертого порядку, має вигляд:

Вимога до того, щобn + p = 0 та те, що остача від ділення дорівнює 2 (mod 2) полягає в тому, що інтеграл від −∞ до 0 дає множник (−1)n+p/2, а інтеграл від 0 до +∞ дає множник 1/2 кожного разу.

Ці інтеграли з'являються в таких областях, як квантова теорія поля.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Stahl, Saul (April 2006). The Evolution of the Normal Distribution. MAA.org. Процитовано 25 травня 2018. 
  2. Cherry, G. W. (1985). Integration in Finite Terms with Special Functions: the Error Function. Journal of Symbolic Computation 1 (3): 283–302. doi:10.1016/S0747-7171(85)80037-7. 
  3. а б The Probability Integral. 
  4. Reference for Multidimensional Gaussian Integral. Stack Exchange. 30 березня 2012.