Логнормальний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Логнормальний

Деякі щільності лог-нормального розподілу з однаковими параметрами локалізації μ, але різними параметрами масштабу σ
Функція розподілу ймовірностей
Функція розподілу лог-нормального розподілу (з μ = 0 )
Параметри σ2 > 0 — форма (дійсне),
μR — логарифмічний-масштаб
Носій функції x ∈ (0, +∞)
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана
Мода
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf) (визначена тільки на від'ємній півосі)
Характеристична функція представлення є асимптотично розбіжне, але достатньо точне для числового використання

Логнормальний розподіл у теорії ймовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. Якщо випадкова величина має логнормальний розподіл, то її логарифм має нормальний розподіл.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай розподіл випадкової величини задається щільністю ймовірності, що має вид:

,

де . Тоді кажуть, що має логнормальний розподіл з параметрами і . Пишуть: .

Моменти[ред.ред. код]

Формула для -го моменту логнормальної випадкової величини має вид:

відкіля зокрема :

,
.

Властивості логнормального розподілу[ред.ред. код]

  • Якщо  — незалежні логнормальні випадкові величини, такі що , то їхній добуток також логнормальний:

.

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

  • Якщо , то
.

Моделювання логнормальних випадкових величин[ред.ред. код]

Для моделювання звичайно використовується зв'язок з нормальним розподілом. Тому, досить згенерувати нормально розподілену випадкову величину, наприклад, використовуючи перетворення Бокса — Мюллера, і обчислити її експоненту.

Моделювання[ред.ред. код]

Моделювання значень випадкової величини з логнормальним розподілом (з параметрами і ) проводиться за формулою , де має нормальний розподіл з тими ж параметрами.

Застосування логнормального розподілу[ред.ред. код]

У статистиці так званий логнормальний розподіл застосовується в тому випадку, коли починає змінюватися ціна активу в майбутньому — а це випадковий процес, що у принципі повинний описуватися нормальним розподілом. У той же час для цілей імовірнісної оцінки вартості активу в теорії використовують не нормальний, а логнормальний розподіл. Це обумовлено такими причинами:

  • По-перше, нормальний розподіл симетричний щодо її центральної осі і може мати як додатні, так і від'ємні значення; однак ціна активу не може бути від'ємною.
  • По-друге, нормальний розподіл говорить про рівну імовірність для відхилення значень змінної чи нагору вниз. У той же час на практиці, наприклад, має місце інфляція, що натискає на ціни убік їхнього підвищення, а також сама тимчасова сутність грошей: вартість грошей сьогодні менше, ніж вартість грошей учора, але більше, ніж вартість грошей завтра.

Крива логнормального розподілу завжди додатня і має правобічну скошеність (асиметрично), тобто вона вказує на велику імовірність відхилення ціни вгору. Тому якщо, допустимо, ціна активу становить 50 дол., то крива логнормального розподілу свідчить про те, що пут-опціон з ціною виконання 45 дол. повинний коштувати менше колл-опціону із ціною виконання 55 дол., у той час як відповідно до нормального розподілу вони повинні були б мати однакову ціну. Хоча не можна сподіватися, що приведені вихідні припущення в точності виконуються у всіх реальних ринкових ситуаціях, проте прийнято вважати, що логнормальний розподіл є достатньо добрим як перше наближення у випадку активів, якими торгують на конкурентних ринках аукціонного типу для довгих розглянутих періодів.

Див. також[ред.ред. код]