Куб (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
, при цілих значеннях на відрізку від 1 до 25

В арифметиці та алгебрі куб числа є його третій степінь, тобто результат множення трьох однакових елементів . Куб числа або будь-якого іншого математичного виразу[en] позначається за допомогою верхнього індексу[en] 3, наприклад, або .

Позначення «³» (читається: в кубі або у третьому степені, при означеннях об'ємів  — вживається термін кубічних одиниць) — означає математичну операцію піднесення до степеня 3 та використовується при позначенні об'ємів таких як м³ (метр кубічний або кубометр) чи км³ (кілометр кубічний) тощо.

Куб числа типографічно може записуватись як окремий знак шрифту (³) або як цифра 3 у верхньому індексі (3). У документах HTML використовується код ³ або ³.

Також куб ― число помножене на його квадрат: .

Об'єм куба ― це куб довжини його сторони. Обернена операція, яка полягає у знаходженні числа, куб якого дорівнює , називається кубічним коренем з числа (позначається як ). Він визначає сторону куба заданого об'єму.

Кубічна функція[ред. | ред. код]

Кубічна функція ― це функція (часто позначається як ), яка відображає число у свій куб. Ця функція є непарною, оскільки .

Графік кубічної функції ― кубічна парабола. Оскільки кубічна функція є непарною, то крива має центр симетрії у початку координат, але не має осі симетрії.

Куби цілих чисел[ред. | ред. код]

Кубічне число, досконалий куб або просто куб ― це число, яке є кубом цілого числа. Нижче наведено початок числової послідовності для кубів невід'ємних чисел (послідовність A000578 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

03 = 0
13 = 1 113 = 1331 213 = 9261 313 = 29,791 413 = 68,921 513 = 132,651
23 = 8 123 = 1728 223 = 10,648 323 = 32,768 423 = 74,088 523 = 140,608
33 = 27 133 = 2197 233 = 12,167 333 = 35,937 433 = 79,507 533 = 148,877
43 = 64 143 = 2744 243 = 13,824 343 = 39,304 443 = 85,184 543 = 157,464
53 = 125 153 = 3375 253 = 15,625 353 = 42,875 453 = 91,125 553 = 166,375
63 = 216 163 = 4096 263 = 17,576 363 = 46,656 463 = 97,336 563 = 175,616
73 = 343 173 = 4913 273 = 19,683 373 = 50,653 473 = 103,823 573 = 185,193
83 = 512 183 = 5832 283 = 21,952 383 = 54,872 483 = 110,592 583 = 195,112
93 = 729 193 = 6859 293 = 24,389 393 = 59,319 493 = 117,649 593 = 205,379
103 = 1000 203 = 8000 303 = 27,000 403 = 64,000 503 = 125,000 603 = 216,000

З геометричної точки зору, натуральне число ― досконалий куб тоді і лише тоді, коли можна з твердих одиничних кубів скласти більший, суцільний куб. Наприклад, з 27 маленьких кубиків можна скласти один більший, який має вигляд кубика Рубіка, оскільки .

Різницю між двома послідовними кубами цілих чисел можна представити у вигляді

або

Не існує мінімального досконалого куба, оскільки куб від'ємного цілого числа від'ємний. Наприклад, .

Сума кубів перших додатних натуральних чисел обчислюється за формулою:

Доведення формули[ред. | ред. код]

Формулу суми кубів можна отримати, на основі таблиці множення і формули суми арифметичної прогресії[1]. Розглядаючи як ілюстрацію методу дві таблиці множення , наведемо міркування для таблиць розміром

Таблиця множення і куби чисел
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25
Таблиця множення і арифметична прогресія
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

Сума чисел у -й (k = 1, 2, …) виділеній області першої таблиці:

А сума чисел у -ї (k=1,2,\dots)</math> виділеної області другої таблиці, що є арифметичною прогресією:

Провівши сумування по всіх виділених областях першої таблиці, отримаємо таке ж число, як і при сумуванні по всіх виділених областях другої таблиці:

Десяткова система числення[ред. | ред. код]

На відміну від досконалих квадратів, досконалі куби мають велику кількість можливостей для останніх двох цифр. За виключенням кубів кратних 5 для яких лише 25, 75, 00 можуть бути останніми двома цифрами, у загальному випадку будь-яка пара цифр із останньою непарною цифрою може бути останніми цифрами досконалого куба. Для кубів парних чисел існує значне обмеження, оскільки лише 00, , , та можуть бути останніми двома цифрами досконалого куба (де означає будь-яку непарну цифру, а ― будь-яку парну цифру). Деякі кубічні числа також є квадратними числами; наприклад, 64 є квадратним числом і кубічним числом . Це можливо тоді і лише тоді, коли число є досконалим шостого степеня (у даному випадку ).

Останніми цифрами кожного 3-го степеня є

0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

Однак, легко показати, що більшість чисел не є досконалими кубами, оскільки вони повинні мати цифровий корінь рівний 1, 8 або 9. Тобто їх значення за модулем 9 можуть бути лише , і . Більше того, цифровий корінь куба будь-якого числа може бути визначений остачею, яке число дає при діленні на 3:

  • Якщо число кратне 3, то його куб має цифровий корінь 9; тобто,
    якщо , то (фактично 0 ).
  • Якщо число має остачу 1 при діленні на 3, то його куб має цифровий корінь 1; тобто
    якщо , то .
  • Якщо число має остачу 2 при діленні на 3, то його куб має цифровий корінь 8; тобто
    якщо , то .

Проблема Воринга[ред. | ред. код]

Докладніше: Проблема Воринга

Будь-яке натуральне число можна записати як суму дев'яти (або менше) додатних кубів. Цю верхню межу з дев'яти кубів не можна зменшити, оскільки, наприклад, число 23 не можна записати як суму менше ніж дев'яти додатних кубів:

Суми трьох кубів[ред. | ред. код]

Докладніше: Сума трьох кубів

Існує гіпотеза, що будь-яке ціле число (додатне чи від'ємне), яке не конгруентно за модулем 9, можна записати як суму трьох (додатних чи від'ємних) кубів нескінченно багатьма способами.[2] Наприклад, . Цілі числа, конгруентні за модулем 9, виключаються, оскільки їх не можна записати як суму трьох кубів.

Найменшим таким цілим числом, для якого така сума невідома, є 114. У вересні 2019 року було виявлено, що попереднє найменше таке ціле число 42, для якого було невідоме представлення у вигляді суми 3 кубів, можна записати у вигляді: [3]Шаблон:Better source needed


По одному з розв'язків для наведено в таблиці нижче для , і не конгруентно 4 або 5 за модулем 9. Вибраний розв'язок є примітивним , не вигляду або (оскільки вони мають нескінченні сім'ї розв'язків), задовольняє умові , та має мінімальні значення для та (протестовано в цьому порядку). [4][5][6]

Вказано лише примітивні розв'язки, оскільки непримітивні можна тривіально отримати з розв'язків для менших значень . Наприклад, для : отримується з домноженням на . Отже, це інший розв'язок, ніж який вибрано. Так само для виключається розв'язок , і вказано розв'язок .

Остання теорема Ферма для кубів[ред. | ред. код]

Рівняння не має нетривіальних (тобто ) розв'язків у цілих числах. Насправді рівняння не має жодного розв'язку в цілих числах Ейзенштейна.[7]

Обидва ці твердження також справедливі для рівняння .[8]

Сума перших кубів[ред. | ред. код]

Сума перших кубів ― це трикутне число у квадраті:

Доведення. Чарльз Вітстон(1854) навів особливо просте виведення, предсталяючи кожен куб у сумі як набір послідовних непарних чисел. Він починає з тотожності:

Ця тотожність пов'язана з трикутними числами наступним чином:

і, отже, доданти, що утворюють , починаються відразу після тих, що утворюють усі попередні значення аж до . Використовуючи цю властивість разом із іншою добре відомою тотожністю

,

отримуємо

У більш новій математичній літературі Штейн (1971) використовує інтерпретацію цих чисел за допомогою підрахунку прямокутників для геометричного доведення тотожності (див. також (see also Бенджамін, Куінн і Вурц 2006); він зазначає, що це можна також легко (але малоінформативно) довести за допомогою індукції, і стверджує, що Тепліц (1963) навів “цікаве старе арабське доведення”. Канім (2004) представив суто візуальне доведення, Бенджамін і Оррісон (2002) навели два додаткових доведення, а Нельсен (1993) ― сім геометричних доведень.

Наприклад, сума перших 5 кубів ― це квадрат 5-го трикутного числа,

Подібний результат можна отримати для суми перших непарних кубів,

але , має задовольняти від'ємне рівняння Пелля . Наприклад, якщо і 29, то

і так далі. Крім того, будь-яке парне досконале число, крім найменшого, є сумою перших непарних кубів :

Сума кубів чисел в арифметичній прогресії[ред. | ред. код]

Існують приклади кубів чисел в арифметичній прогресії, сума яких дорівнює кубу:

У першому прикладі число іноді називають загадковим числом Платона. Формула для знаходження суми кубів чисел в арифметичній прогресії із різницею та початковим кубом ,

має вигляд

Параметричний розв'язок для рівняння

відомий для частинного випадку або послідовних кубів, але відомі лише окремі розв'язки для цілих чисел , такі як тощо.[9]

Куби як суми послідовних непарних натуральних чисел[ред. | ред. код]

У послідовності непарних натуральних чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, , перше є кубом ; сума наступних двох ― це наступний куб ; сума наступних трьох ― це наступний куб ; і так далі.

Для раціональних чисел[ред. | ред. код]

Будь-яке додатне раціональне число є сумою трьох додатних раціональних кубів[10], і існують раціональні числа, які не є сумою двох раціональних кубів.[11]

Для дійсних чисел, інших полів та кілець[ред. | ред. код]

Докладніше: Кубічна функція

Для дійсних чисел функція куба зберігає порядок: більші числа мають більші куби. Іншими словами, куби (строго) монотонно зростають. Крім того, область значень кубічної функції ― це вся дійсна пряма: функція є сюр'єкцією (приймає всі можливі значення).

Лише три числа дорівнюють власним кубам: , 0 та 1. Якщо або , то . Якщо або , то . Всі вищезазначені властивості стосуються також будь-якого вищого непарного степеня дійсних чисел. Рівності та нерівності також справедливі для будь-якого впорядкованого кільця[en].

Об'єми подібних евклідових тіл відносяться як куби їх лінійних розмірів.

Для комплексних чисел куб суто уявного числа також є суто уявним. Наприклад, .

Похідна від дорівнює .

Куби іноді мають сюр'єктивну властивість у випадку інших полів, наприклад у випадку для такого простого , що [12], але не обов'язково: див. контрприклад із раціональними числами вище. Крім того, у лише три елементи , ― це досконалі куби, з семи. , і ― завжди досконалі куби та єдині елементи поля, що дорівнюють власним кубам: [en]

Історія[ред. | ред. код]

Визначення кубів великих чисел було дуже поширеним у багатьох древніх цивілізаціях. Месопотамські математики створили клинописні таблички з таблицями для обчислення кубів та коренів кубів до старовавилонського періоду[en] (20–16 століття до н.е.).[13][14] Кубічні рівняння були відомі давньогрецькому математику Діофанту.[15] Герон розробив метод обчислення кубічних коренів в 1 столітті н.е.[16] Методи розв'язання кубічних рівнянь та обчислення кубічних коренів представлені в “Дев'яти розділах з математичного мистецтва”, китайському[en] математичному тексті, складеному приблизно у II столітті до н.е. та прокоментованому Лю Хуеєм у III столітті н.e.

Деякі властивості[ред. | ред. код]

  • У десятковому записі куб числа може закінчуватися на будь-яку цифру (на відміну від квадрата).
  • У десятковій системі двома останніми цифрами куба числа можуть бути 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Залежність передостанньої цифри куба від останньої можна подати у вигляді наступної таблиці:
Остання
цифра
Передостання
цифра
0 0
5 2, 7
4, 8 парна
2, 6 непарна
1, 3, 7, 9 будь-яка

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 1923. — С. 68—70.
  2. Huisman, Sander G. (27 Apr 2016). «Newer sums of three cubes». arXiv:1604.07746 [math.NT]. 
  3. "NEWS: The Mystery of 42 is Solved - Numberphile" https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw
  4. Sequences послідовність A060465 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS, послідовність A060466 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS and послідовність A060467 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS in OEIS
  5. Threecubes
  6. n=x^3+y^3+z^3
  7. Hardy & Wright, Thm. 227
  8. Hardy & Wright, Thm. 232
  9. A Collection of Algebraic Identities. [недоступне посилання з 01.07.2019]
  10. Hardy & Wright, Thm. 234
  11. Hardy & Wright, Thm. 233
  12. Мультиплікативна група є циклічною порядку , і якщо не має кратності , тоді куби визначають групу автоморфізмів.
  13. Cooke, Roger (8 November 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. с. 63. ISBN 978-1-118-46029-0. 
  14. Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. с. 306. ISBN 978-0-313-29497-6. 
  15. Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
  16. Smyly, J. Gilbart (1920). Heron's Formula for Cube Root. Hermathena (Trinity College Dublin) 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103. 

Джерела[ред. | ред. код]

  • “Корн Г., Корн Т.” Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — 832 с.
  • Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5.
  • Wheatstone, C. (1854), On the formation of powers from arithmetical progressions, Proceedings of the Royal Society of London, 7: 145–151, Bibcode:1854RSPS....7..145W, doi:10.1098/rspl.1854.0036