Квадратне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадрат або квадратне число — додатне ціле число, яке може бути записане у вигляді квадрата деякого іншого числа (інакше кажучи, число, квадратний корінь якого цілий). Геометрично таке число може бути представлене у вигляді площі квадрата з цілочисловою стороною.

Наприклад, 9 — квадратне число, оскільки воно може бути записане у вигляді 3 × 3.

Деякі властивості[ред.ред. код]

  • Квадратне число номер n дорівнює n2
  • 4 різних квадрати не можуть утворювати арифметичну прогресію. (Приклад трьох квадратів, які утворюють арифметичну прогресію: 1, 25, 49)
  • 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
  • Кожне число може бути представлене як сума 4 квадратів (Теорема Лагранжа про чотири квадрати).
  • В кільці Z_p (де p — непарне просте) (p+1)/2 елементів є квадратами.
  • 4900 — єдине число > 1, яке одночасно є квадратним і пірамідальним.
  • Суми пар послідовних трикутних чисел є квадратними числами.
  • Остання цифра квадрата (в десятковому записі) може бути лише 0, 1, 4, 5, 6, 9.
  • Дві останні цифри квадрата (в десятковому записі) можуть бути тільки 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96.
  • Квадратні числа (і тільки вони) мають непарну кількість дільників.

Геометричне представлення[ред.ред. код]

1
* x
4
**
**
**
**
9
***
***
***
***
***
***
16
****
****
****
****
****
****
****
****
25
*****
*****
*****
*****
*****
*****
*****
*****
*****
*****

Квадрати перших п'ятдесяти чисел[ред.ред. код]

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500 (Послідовність A000290 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Див. також[ред.ред. код]