Дискримінант (теорія полів)

Дискримінант системи елементів поля — одна з важливих конструкцій в теорії розширень полів, що є особливо важливою для числових полів і відповідно має широке застосування у алгебричній теорії чисел.

Означення

Нехай $K$ скінченне розширення поля $k$ степеня $n$. Відображення $K\times K\to k:(x,y)\to \operatorname {Tr} (x,y)$ де $x,y\in K$, a $\operatorname {Tr}$ — слід елемента є симетричною білінійною формою на полі $K$, що розглядається як лінійний простір над $k$. Дискримінант цієї білінійної форми щодо системи елементів $w_{1},...,w_{m}$ з $K$ називається дискримінантом системи $w_{1},...,w_{m}$ і позначається $D(w_{1},...,w_{m})$. Тобто, $D(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m}):=\det \left(\mathrm {Tr} (w_{i}\cdot w_{j})\right)$.

Зокрема, якщо зазначена система є базисом $K$ над $k$, то її дискримінант називається дискримінантом базиса $K$ над $k$.

Наведені означення можуть бути перенесені також на випадок довільної скінченновимірної асоціативної алгебри над полем на випадок кілець і модулів над ними.

Поля алгебричних чисел

Нехай $k=\mathbb {Q}$ — поле раціональних чисел, $K$ — поле алгебричних чисел і $M$ — деяка ґратка рангу $n$. Тоді для будь-яких двох базисів ґратки $M$ значення дискримінанта є однаковими і це загальне значення дискримінант називається дискримінантом ґратки $M$.

Якщо $M$ є кільцем цілих чисел поля $K$, то дискримінант ґратки $M$ називається просто дискримінантом поля $K$ і позначається $D_{K}$. Число $D_{K}$, є важливою характеристикою поля $K$.

Зазначене означення дискримінанта ґратки в полі алгебричних чисел може бути узагальнене на випадок, коли $k$ — поле часток дедекіндового кільця $A$, a $K$ — скінченне сепарабельне розширення поля $k$ степеня $n$. Нехай $B$ — ціле замикання кільця $A$ в $K$ і ${\mathfrak {b}}$ — довільний дробовий ідеал кільця $B$. Тоді дискримінантом ідеалу ${\mathfrak {b}}$ називається $A$-модуль $D({\mathfrak {b}})$, породжений всіма дискримінантами виду $D(w_{1},...,w_{n})$, де $\{w_{1},...,w_{n}\}$ пробігає усі базиси поля $K$ над $k$, що належать ${\mathfrak {b}}$. $D({\mathfrak {b}})$ буде дробовим ідеалом кільця $A$. У випадку ${\mathfrak {b}}=B$ для $D(B)$ також використовуються позначення $D_{K/k}$ і $D_{B/A}$. У цьому випадку $D(B)$ є ідеалом кільця $A$.

Зокрема якщо $A$ — кільце головних ідеалів і ${\mathfrak {b}}=B$, то $B$ є вільним модулем над $A$ розмірності $n$ і $D(B)$ є головним ідеалом, породженим дискримінантом довільного базиса $B$ над $A$. Кожен такий базис є також базисом розширення $K/k$ і два такі дискримінанти відрізняються добутком на оборотний елемент, тобто породжують однаковий ідеал. Зокрема це справедливо для $k=\mathbb {Q}$ і $A=\mathbb {Z}$. У випадку коли $A$ не є кільцем головних ідеалів, $B$ може не бути вільним модулем і $D(B)$ може не бути головним ідеалом.

Властивості

• Дискримінанти двох базисів відрізняються множником, що є квадратом деякого ненульового елемента поля $k$.

Дійсно якщо $w_{1},...,w_{n}$ і $z_{1},...,z_{n}$ — два такі базиси і $A_{ij}$ — матриця переходу між ними, то, $\left(\mathrm {Tr} (w_{i}\cdot w_{j})\right)=A\left(\mathrm {Tr} (z_{i}\cdot z_{j})\right)A^{T}$. Тому з властивостей визначника випливає, що $D(w_{1},...,w_{n})=(\det(A))^{2}D(z_{1},...,z_{n})$.

• Дискримінант будь-якого базису$K$ над $k$ не дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли розширення $K/k$ є сепарабельним.
• Якщо $f_{x}(t)$ — многочлен степеня $m$, що є мінімальним многочленом елемента $x$ із сепарабельного розширення $K/k$, то $D(1,x,x^{2},...,x^{m})$ збігається із стандартним дискримінантом многочлена $f_{x}(t)$.
• У разі сепарабельного розширення $K/k$ дискримінант базиса $w_{1},...,w_{n}$ може бути обчислений за формулою

$\Delta (w_{1},...,w_{n})=\left(\operatorname {det} \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(w_{1})&\sigma _{1}(w_{2})&\cdots &\sigma _{1}(w_{n})\\\sigma _{2}(w_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(w_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(w_{n})\end{array}}\right)\right)^{2}.$

де $\sigma _{1},...,\sigma _{n}$ — усі різні вкладення $K$ у фіксоване алгебричне замикання поля $k$, що залишають нерухомими елементи $k$.

Дискримінанти числового поля

• Теорема Бриля: Знак дискримінанта числового поля є рівним $(-1)^{r_{2}}$ де $r_{2}$ є кількістю спряжених пар вкладень $K$ у поле комплексних чисел.
• Просте число $p$ розгалужується у $K$ якщо і тільки якщо $p$ ділить $D_{K}$.
• Теорема Штікельбергера:

$\Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.$

• Обмеження Мінковського: Нехай $n$ — степінь розширення $K/\mathbb {Q}$ і $r_{2}$ — кількість спряжених пар вкладень $K$ у поле комплексних чисел. Тоді

$|\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.$

• Теорема Мінковського: Якщо $K$ не є рівним $\mathbb {Q}$, то $|D_{K}|>1$.
• Теорема Ерміта — Мінковського:Нехай $N$ — додатне ціле число. Тоді існує лише скінченна кількість (з точністю до ізоморфізму) алгебричних числових полів $K$ для яких $|D_{K}|\leqslant N$.
• Якщо $r_{1},r_{2}$ — кількість дійсних і спряжених пар комплексних вкладень. Тоді

$\lim _{q\to 1^{+}}(q-1)\zeta _{k}(q)={\frac {2^{r_{1}+r_{2}}\pi ^{r_{2}}R}{m{\sqrt {|}}D_{K}|}}h$

де $\zeta _{k}(q)$ — дзета-функція Дедекінда, $h$ — порядок групи класів ідеалів, $R$ — регулятор поля $K$ і $m$ — кількість коренів з одиниці в полі $K$.

Дискримінанти дробових ідеалів і скінченних розширень кілець Дедекінда

Тут всюди $A$ — кільце дедекінда з полем часток $k$, $K$ — скінченне сепарабельне розширення поля $k$ степеня $n$, $B$ — ціле замикання кільця $A$ в $K$ і ${\mathfrak {b}}$ — довільний дробовий ідеал кільця $B$.

• $D({\mathfrak {b}})$ є дробовим ідеалом кільця $A$ і має місце рівність $D({\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {b}})2D(B)$, де $N({\mathfrak {b}})$ — норма ідеалу ${\mathfrak {b}}$.
• Дискримінант $D(B)$ збігається з нормою диферента кільця $B$ над $A$.
• Якщо $S\subset A$ — мультиплікативна підмножина то $D_{B_{S}/A_{S}}=(D_{B/A})_{S}$, де $S$ у нижньому індексі позначає локалізацію по мультиплікативній системі.

Приклади

• Квадратичні поля: нехай $d$ вільне від квадратів ціле число. Тоді дискримінант поля $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ є рівним

$D_{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.$

• Кругові поля: нехай $n>2$ — ціле число і $K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n}),$ — n-не кругове поле. Дискримінант цього поля є рівним

$D_{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}$

де $\varphi (n)$ — функція Ейлера і добуток береться по всіх простих числах, що ділять $n$.

Див. також

• Визначник
• Дискримінант
• Слід (теорія полів)

Література

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М. : Наука, 1972. — 510 с.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)