Функція Гамільтона

Функція Гамільтона (або Гамільтоніан) ${\mathcal {H}}(q_{i},p_{i},t)\,$ визначається через узагальнені координати $q_{i}\,$ і узагальнені імпульси $p_{i}\,$ виходячи з функції Лагранжа ${\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)\,$ наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

$p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$.

Функція Гамільтона визначається згідно з

${\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\mathcal {L}}$. Фактично, це є перетворення Лежандра лагранжіана.

Після цього всі узагальнені швидкості ${\dot {q}}_{i}$ d ${\mathcal {H}}$ виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

${\mathcal {H}}=T+V\,$,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

Див. також

• Гамільтоніан
• Лагранжіан

Література

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.