Рівняння Гамільтона — Якобі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична механіка
\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}
Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки

Рівня́ння Гамільто́на — Я́кобі — рівняння у часткових похідних, яке повністю визначає еволюцію гамільтонової системи класичної механіки.

Рівняння має наступне формулювання:

 \frac{\partial S}{\partial t}  + \mathcal{H} \left(q_i, \frac{\partial S}
{\partial q_i}, t \right) = 0 .

Тут  \mathcal{H}(q_i, p_i, t)  — функція Гамільтона для системи із узагальненими координатами  q_i і узагальненими імпульсами  p_i , де  i пробігає значення від одиниці до кількості ступенів свободи гамільтонової системи  n .

Визначення еволюції узагальнених координат та імпульсів[ред.ред. код]

 S  — це функція узагальнених координат  q_i і часу, яка має розмірність дії.

Рівняння Гамільтона — Якобі це рівняння в часткових похідних першого порядку відносно функції  S . Його розв'язок залежить від  f  параметрів інтегрування, які можна позначити  Q_i . Запишемо цей розв'язок у вигляді  S(t, q_i, Q_i) . Тоді еволюція узагальнених змінних системи визначається із розв'язку наступної ситеми алгебраїчних рівнянь:

 p_i = \frac{\partial S(t, q_i, Q_i)}{\partial q_i}
 P_i = - \frac{\partial S(t, q_i, Q_i)}{\partial Q_i}

де  P_i  — це ще  n нових параметрів інтегрування.

Теорія відносності[ред.ред. код]

Для вільної частинки в теорії відносності рівняння Гамільтона — Якобі має вигляд:

 \frac{1}{c^2} \left(\frac{\partial S}{\partial t} \right)^2 - \left(\frac{\partial S}{\partial x} \right)^2 
- \left(\frac{\partial S}{\partial y} \right)^2 - \left(\frac{\partial S}{\partial z} \right)^2 = m^2c^2 ,

де с — швидкість світла в порожнечі

Загальна теорія відносності[ред.ред. код]

В рамках загальної теорії відносності у рівнянні Гамільтона — Якобі враховується загальний вираз для метрики простору-часу і рівняння набирає вигляду

 g^{ij} \frac{\partial S}{\partial x^i}\frac{\partial S}{\partial x^j}  + m^2 c^2 =0 .

Метрика простору-часу  g_{ij} визначається в загальному випадку також гравітаційними полями, тож це рівняння справедливе не лише для вільної частинки, а й для частинки в гравітаційному полі.

Значення[ред.ред. код]

Рівняння Гамільтона — Якобі загалом інтегрувати складніше, ніж вихідні рівняння гамільтонової механіки, проте воно є зручним засобом для побудови наближень.

Загальний вигляд рівняння Гамільтона — Якобі нагадує квантовомеханічне рівняння Шредінгера. Доведено, що для макроскопічних тіл рівняння Шредінгера зводиться до класичного рівняння Гамільтона — Якобі (дивіться Квазікласичне наближення).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
  • Голдстейн Г. Классическая механика. — М. : Наука, 1975. — 416 с.
  • Лич Дж. У. Классическая механика. — М. : ИЛ, 1961. — 174 с.