таблиця множення
|
i1
|
i2
|
j
|
i1
|
−1 |
j |
−i2
|
i2
|
j |
−1 |
-i1
|
j
|
−i2 |
-i1 |
1
|
Бікомплексні числа — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду
де
— дійсні числа,
— уявні одиниці.
для яких
.
Використавши комутативність, отримаємо
![{\displaystyle \ j^{2}=(i_{1}i_{2})^{2}=i_{1}^{2}i_{2}^{2}=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86fa9d6e2fce9f481bae834228cee9e1e187a911)
та
![{\displaystyle \ i_{1}j=ji_{1}=-i_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae53f1ec075b0ca7e44d065c1e8a3bd10d3ccbb)
![{\displaystyle \ i_{2}j=ji_{2}=-i_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a894ef4866f43c766666a8b69abd7eb8dcc902)
Бікомплексне число можна записати у вигляді
де
— комплексні числа.
Насправді ж навпаки, в 1892 бікомплексні числа визначили за допомогою подвоєння комплексних чисел (замінивши їх дійсні частини на комплексні). Але на відміну від кватерніонів, вимагали збереження комутативності множення.
Хоча, дещо раніше в 1848, описали схожу алгебру тессарінів, вимагаючи тільки: комутативність,
.
Бікомплексні числа утворюють комутативне кільце, тобто, множення є асоціативним, комутативним та дистрибутивним відносно додавання.
Але не є тілом чи полем, оскільки мають дільники нуля.
![{\displaystyle \ (A+Bi_{2})(C+Di_{2})=(AC-BD)+(AD+BC)i_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3e19f4aa5aa594a2db82f3ba1f6dfca8b7fac8)
В бікомплексних числах, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця
отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:
![{\displaystyle e_{1}={1+j \over 2},\quad e_{2}={1-j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bf7bfe7cd1a6d0a8c3e6ca569669b89116aec1)
які можна використати як альтернативний базис. Бікомплексні числа переводяться в діагональний базис так:
![{\displaystyle \ A+Bi_{2}=(A-Bi_{1})e_{1}+(A+Bi_{1})e_{2}={\Big (}a+d+(b-c)i_{1}{\Big )}e_{1}\;+\;{\Big (}a-d+(b+c)i_{1}{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1}+{\tilde {B}}e_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404dfea24fcceb5670b60b1d281960f93f39b1b3)
У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли
чи
рівні нулю.