Дискримінант системи елементів поля — одна з важливих конструкцій в теорії розширень полів, що є особливо важливою для числових полів і відповідно має широке застосування у алгебричній теорії чисел.
Нехай
скінченне розширення поля
степеня
. Відображення
де
, a
— слід елемента є симетричною білінійною формою на полі
, що розглядається як лінійний простір над
. Дискримінант цієї білінійної форми щодо системи елементів
з
називається дискримінантом системи
і позначається
. Тобто,
.
Зокрема, якщо зазначена система є базисом
над
, то її дискримінант називається дискримінантом базиса
над
.
Наведені означення можуть бути перенесені також на випадок довільної скінченновимірної асоціативної алгебри над полем на випадок кілець і модулів над ними.
Нехай
— поле раціональних чисел,
— поле алгебричних чисел і
— деяка ґратка рангу
. Тоді для будь-яких двох базисів ґратки
значення дискримінанта є однаковими і це загальне значення дискримінант називається дискримінантом ґратки
.
Якщо
є кільцем цілих чисел поля
, то дискримінант ґратки
називається просто дискримінантом поля
і позначається
. Число
, є важливою характеристикою поля
.
Зазначене означення дискримінанта ґратки в полі алгебричних чисел може бути узагальнене на випадок, коли
— поле часток дедекіндового кільця
, a
— скінченне сепарабельне розширення поля
степеня
. Нехай
— ціле замикання кільця
в
і
— довільний дробовий ідеал кільця
. Тоді дискримінантом ідеалу
називається
-модуль
, породжений всіма дискримінантами виду
, де
пробігає усі базиси поля
над
, що належать
.
буде дробовим ідеалом кільця
. У випадку
для
також використовуються позначення
і
. У цьому випадку
є ідеалом кільця
.
Зокрема якщо
— кільце головних ідеалів і
, то
є вільним модулем над
розмірності
і
є головним ідеалом, породженим дискримінантом довільного базиса
над
. Кожен такий базис є також базисом розширення
і два такі дискримінанти відрізняються добутком на оборотний елемент, тобто породжують однаковий ідеал. Зокрема це справедливо для
і
. У випадку коли
не є кільцем головних ідеалів,
може не бути вільним модулем і
може не бути головним ідеалом.
- Дискримінанти двох базисів відрізняються множником, що є квадратом деякого ненульового елемента поля
.
- Дійсно якщо
і
— два такі базиси і
— матриця переходу між ними, то,
. Тому з властивостей визначника випливає, що
.
- Дискримінант будь-якого базису
над
не дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли розширення
є сепарабельним.
- Якщо
— многочлен степеня
, що є мінімальним многочленом елемента
із сепарабельного розширення
, то
збігається із стандартним дискримінантом многочлена
.
- У разі сепарабельного розширення
дискримінант базиса
може бути обчислений за формулою
![{\displaystyle \Delta (w_{1},...,w_{n})=\left(\operatorname {det} \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(w_{1})&\sigma _{1}(w_{2})&\cdots &\sigma _{1}(w_{n})\\\sigma _{2}(w_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(w_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(w_{n})\end{array}}\right)\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9a9075b03a72ec94a5f6e6ffbe8132b9ca6007)
де
— усі різні вкладення
у фіксоване алгебричне замикання поля
, що залишають нерухомими елементи
.
- Теорема Бриля: Знак дискримінанта числового поля є рівним
де
є кількістю спряжених пар вкладень
у поле комплексних чисел.
- Просте число
розгалужується у
якщо і тільки якщо
ділить
.
- Теорема Штікельбергера:
![{\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38b33cc08a39ca9ed01c2210206aac0c9912506)
- Обмеження Мінковського: Нехай
— степінь розширення
і
— кількість спряжених пар вкладень
у поле комплексних чисел. Тоді
![{\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909f27dbad19aa78bfb108524610c15c0d991523)
- Теорема Мінковського: Якщо
не є рівним
, то
.
- Теорема Ерміта — Мінковського:Нехай
— додатне ціле число. Тоді існує лише скінченна кількість (з точністю до ізоморфізму) алгебричних числових полів
для яких
.
- Якщо
— кількість дійсних і спряжених пар комплексних вкладень. Тоді
![{\displaystyle \lim _{q\to 1^{+}}(q-1)\zeta _{k}(q)={\frac {2^{r_{1}+r_{2}}\pi ^{r_{2}}R}{m{\sqrt {|}}D_{K}|}}h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9ed7520ca78a64f4c5f7ab5bd3139ca9349ba6)
- де
— дзета-функція Дедекінда,
— порядок групи класів ідеалів,
— регулятор поля
і
— кількість коренів з одиниці в полі
.
Дискримінанти дробових ідеалів і скінченних розширень кілець Дедекінда
[ред. | ред. код]
Тут всюди
— кільце дедекінда з полем часток
,
— скінченне сепарабельне розширення поля
степеня
,
— ціле замикання кільця
в
і
— довільний дробовий ідеал кільця
.
є дробовим ідеалом кільця
і має місце рівність
, де
— норма ідеалу
.
- Дискримінант
збігається з нормою диферента кільця
над
.
- Якщо
— мультиплікативна підмножина то
, де
у нижньому індексі позначає локалізацію по мультиплікативній системі.
![{\displaystyle D_{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b304a2af0c9d2094fddeb4248a1c5b8ec7bcc0a1)
- Кругові поля: нехай
— ціле число і
— n-не кругове поле. Дискримінант цього поля є рівним
![{\displaystyle D_{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d8b38c5a40d1c863c782a05a5ef08e1c664ff8)
- де
— функція Ейлера і добуток береться по всіх простих числах, що ділять
.