Дуальні числа

Дуальні числа (комплексні числа параболічного типу) — гіперкомплексні числа виду $a+\varepsilon b$, де $a,b$ — дійсні числа; $\varepsilon$ — уявна одиниця, така що $\varepsilon ^{2}=0$.

Множина всіх дуальних чисел утворює двовимірну комутативну асоціативну алгебру з одиницею над полем дійсних чисел $\mathbb {R}$. На відміну від поля комплексних чисел, ця алгебра містить дільники нуля, причому всі вони мають вигляд $a\varepsilon$.

Дуальні числа — одна із двовимірних гіперкомплексних систем поряд з комплексними та подвійними числами.

Визначення

Алгебраїчне визначення

Дуальні числа — це пари дійсних чисел виду $(a,\;b)$, для яких визначені операції множення і додавання за правилами:

$\ (a_{1},\;b_{1})+(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+a_{2},\;b_{1}+b_{2})$

$\ (a_{1},\;b_{1})*(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$

Числа виду $(a,\;0)$ ототожнюються при цьому з дійсними числами, а число $(0,\;1)$ позначається $\varepsilon$, після чого визначаючі тотожності приймають вигляд:

$\varepsilon ^{2}=0,\quad (a,\;b)=a+b\varepsilon$

$(a_{1}+\varepsilon b_{1})+(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}+a_{2})+\varepsilon (b_{1}+b_{2}),$

$(a_{1}+\varepsilon b_{1})(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}a_{2})+\varepsilon (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).$

Матричне представлення

Дуальні числа можна представити як матриці з дійсних чисел, при цьому додаванню дуальних чисел відповідає додавання матриць, а множенню чисел — множення матриць. Покладемо $\varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$. Тоді довільне дуальне число набуде вигляду

$a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$.

Показникова форма

Для експоненти з дуальним показником вірною є наступна рівність:

$\mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x$

Дана формула дозволяє представити будь-який дуальне число в показниковій формі і знайти його логарифм по дійсній основі. Вона може бути доведена розкладанням експоненти в ряд Тейлора:

$\mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+{\frac {(\varepsilon x)^{2}}{2!}}+{\frac {(\varepsilon x)^{3}}{3!}}+\cdots$

При цьому всі члени вище першого порядку дорівнюють нулю.

Корені

Корінь n-го ступеня з числа виду $a+\varepsilon b$ визначається як:

${\sqrt[{n}]{a}}+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1}}}}}$

Диференціювання

Дуальні числа дозволяють проводити автоматичне диференціювання функцій. Розглянемо для початку дійсний многочлен виду $P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\ldots +p_{n}x^{n}$. Природно продовжити його область визначення з дійсних чисел на дуальні числа. Нескладно переконатися, що при цьому $P(a+b\varepsilon )=P(a)+bP'(a)\varepsilon$ — похідна многочлена $P$ по $x$. Після цього є природним продовжити область визначення всіх трансцендентних функцій на площину дуальних чисел за правилом $f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf'(a)\varepsilon$, де $f'$ — похідна функції $f$. Таким чином, виконуючи обчислення не над дійсними, а над дуальним числами, можна автоматично отримувати значення похідної функції в точці. Особливо зручно розглядати таким чином композиції функцій.

Можна провести аналогію між дуальним числами і нестандартним аналізом. Уявна одиниця ε кільця дуальних чисел багато в чому подібна до нескінченно малого числа з нестандартного аналізу: будь-який степінь (вище першого) $\varepsilon$ у точності дорівнює 0, у той час як будь-який степінь нескінченно малого числа приблизно дорівнює 0 (є нескінченно малою більш високого порядку). Значить, якщо $\delta$ — нескінченно мале число, то з точністю до $O(\delta ^{2})$ гіпердійсні числа ізоморфні дуальним.

Див. також

• Бікватерніони

Література

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
• Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. — Москва : Физматгиз, 1963. — 192 с.(рос.)