Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
таблиця множення
|
i
|
j
|
k
|
i
|
−1 |
k |
−j
|
j
|
-k |
1 |
-i
|
k
|
j |
i |
1
|
Спліт-кватерніо́ни — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду
(вперше описані Джеймсом Коклі у 1849 році), де
— дійсні числа,
— уявні одиниці,
для яких виконується:
— все як для тессарінів,
тільки замість комутативності (що приводить до
), вимагається
.
З цього отримуємо антикомутативність:
![{\displaystyle {\begin{matrix}ij&=&-ji&=&k,\\jk&=&-kj&=&-i,\\ki&=&-ik&=&j.\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb379fcd29033168dedd3b563cdab2354ecd47a8)
Дещо в іншій формі (із заміною k на -k) вони трапляються під назвою пара-кватерніони.
- Спліт-кватерніон як і тессаріни можна записати у вигляді
де
— комплексні числа.
Для спліт-кватерніона
,
- спліт-кватерніон
називається спряженим до
.
- Як і для комплексних чисел, модуль спліт-кватерніона визначається як:
![{\displaystyle |q|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae1089722f4e8ea934eab9819fe399ee164fecf)
В тессарінів, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця
отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:
![{\displaystyle e_{1}={1-j \over 2},\quad e_{2}={1+j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab8ea328f347ebe4d75ac7c3e748c7b7209175c)
які можна використати як альтернативний базис:
![{\displaystyle \ A+Bj=(A-B)e_{1}+(A+B)e_{2}={\Big (}a-c+(b-d)i{\Big )}e_{1}\;+\;{\Big (}a+c+(b+d)i{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1}+{\tilde {B}}e_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b22e256ee4b6658d5eecab9b7fb1a63c5fab3dd)
У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли
чи
рівні нулю.
Спліт-кватерніон може бути представлений у вигляді матриці 2×2 із комплексних чисел:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\c-di&a-bi\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862b2bf0b37ef1893dca5419394d3885692c8fad)