Шістнадцятикомірник

Шістнадцятикомірник
Діаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) шістнадцятикомірника в тривимірний простір
Тип	Правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі	{3,3,4}
Комірок	16
Граней	32
Ребер	24
Вершин	8
Вершинна фігура	Правильний октаедр
Двоїстий політоп	Тесеракт

Проєкція обертового шістнадцятикомірника в тривимірний простір

Правильний шістнадцятикомірник, або просто шістнадцятикомірник — один з правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі. Відомий також під іншими назвами: гексадекахор (від дав.-гр. ἕξ — «шість», δέκα — «десять» і χώρος — «місце, простір»), чотиривимірний гіпероктаедр (оскільки є аналогом тривимірного октаедра), чотиривимірний кокуб (оскільки двоїстий чотиривимірному гіперкубу), чотиривимірний ортоплекс.

Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х років. Символ Шлефлі шістнадцятикомірника — {3,3,4}.

Опис

Обмежений 16 тривимірними комірками — однаковими правильними тетраедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює $120^{\circ }.$

Його 32 двовимірні грані — однакові правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 24 ребра однакової довжини. На кожному ребрі сходяться по 4 грані і по 4 комірки.

Має 8 вершин. У кожній вершині сходяться по 6 ребер, по 12 граней і по 8 комірок. Будь-яка вершина з'єднана ребром з будь-якою іншою — крім вершини, симетричної їй відносно центра багатокомірника.

Шістнадцятикомірник можна уявити як дві однакові правильні чотиривимірні піраміди, прикладені одна до одної своїми октаедричними основами, — або як чотиривимірну дуопіраміду, побудовану на двох квадратах.

В координатах

Шістнадцятикомірник можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб його 8 вершини мали координати$(\pm 1;0;0;0),$$(0;\pm 1;0;0),$$(0;0;\pm 1;0),$$(0;0;0;\pm 1).$

При цьому перерізами багатокомірника 6 координатними площинами будуть 6 квадратів, вершини і ребра яких — відповідно вершини і ребра багатокомірника.

Кожна з 16 комірок багатокомірника буде розташовуватися в одному з 16 ортантів чотиривимірного простору.

Початок координат$(0;0;0;0)$ буде центром симетрії шістнадцятикомірника, а також центром його вписаної, описаної і напівуписаних тривимірних гіперсфер.

Поверхня шістнадцятикомірника при цьому буде геометричним місцем точок$(x;y;z;w),$ чиї координати задовольняють рівняння

$|x|+|y|+|z|+|w|=1,$

а внутрішність багатокомірника — геометричним місцем точок, для яких

$|x|+|y|+|z|+|w|<1.$

Ортогональні проєкції на площину

Метричні характеристики

Якщо шістнадцятикомірник має ребро довжини $a,$ то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

$V_{4}={\frac {1}{6}}\;a^{4}\approx 0{,}1666667a^{4},$

$S_{3}={\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\approx 1{,}8856181a^{3}.$

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) в цьому випадку відповідає

$R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a,$

радіус зовнішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їх серединах) -

$\rho _{1}={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,$

радіус внутрішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їх центрах) -

$\rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{6}}\;a\approx 0{,}4082483a,$

радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їх центрах) -

$r={\frac {\sqrt {2}}{4}}\;a\approx 0{,}3535534a.$

Заповнення простору

Шістнадцятикомірниками можна замостити чотиривимірний простір без проміжків і накладень.