Теорія де Бройля — Бома

Теорія де Бройля-Бома, також відома як теорія пілотованої хвилі, Бомівська механіка, Інтерпретація Бома і Причинна інтерпретація, — це інтерпретація квантової теорії. На додачу до хвильової функції на просторі всіх можливих конфігурацій, вона також постулює фактичну конфігурацію, яка існує навіть неспостережувана. Еволюція з плином часу конфігурації (тобто, позиції всіх частинок або конфігурації всіх полів) визначається хвильовою функцією через ведуче рівняння. Еволюція хвильової функції з плином часу визначається виразом рівняння Шредінгера. Теорія названа в честь Луї де Бройля (1892-1987), і Девіда Бома (1917-1992).

Ця теорія детермінована і явно нелокальна: швидкість будь-якої частинки залежить від величини ведучого рівняння, яке залежить від конфігурації системи, визначеної її хвильовою функцією; остання залежить від граничних умов системи, які в принципі можуть бути цілим всесвітом.

Результати теорії полягають у формалізмі вимірювання, аналогічному до термодинаміки для класичної механіки, що дає стандартний квантовий формалізм, що в загальному об'єднаний з копенгагенською інтерпретацією. Явна нелокальність теорії вирішує "проблему вимірювання", яка умовно делегується до питання інтерпретації квантової механіки в копенгагенській інтерпретації. Правило Борна в теорії Бройля-Бома не є основним законом. Замість того, в цій теорії зв'язок між щільністю ймовірності і хвильовою функції має статус гіпотези, що називається гіпотеза квантової рівноваги, яка є доповненням до основних принципів регулювання хвильової функції.

Теорія була історично сформована де Бройлем в 1920-ті роки, якого в 1927 році переконали відмовитися від неї на користь тоді популярної копенгагенської інтерпретації. Девід Бом, незадоволений переважною ортодоксальністю, заново відкрив теорію пілотованої хвилі де Бройля в 1952 році. Пропозиції Бома не були широко сприйняті тоді, почасти через причини, які не мають відношення до їхнього змісту, пов'язані з юнацьких захоплень Бома комуністичною пропагандою. Теорія Де Бройля-Бома широко вважалася неприйнятною пануючими теоретиками, в основному через її явну нелокальність. Теорема Белла (1964) була натхненна відкриттям Белла роботи Девіда Бома і його подальшим зацікавленням в тому, чи очевидну нелокальність теорії можна було б усунути. З 1990-х років, знову прокинувся інтерес до розробки доповнень до теорії де Бройля-Бома, намагаючись примирити її з спеціальною теорією відносності і квантовою теорією поля, опріч інших властивостей, таких як, спін або криволінійних просторових геометрій..

Стаття Стенфордської філософської енциклопедії про квантову декогеренцію (Гвідо Бакаґалуппі, 2012) групує "підходи до квантової механіки" на п'ять груп, одною з яких є "теорії пілотованої хвилі" (інші групи — це копенгагенська інтерпретація, об'єктивні теорії колапсу, багатосвітові інтерпретації і модальні інтерпретації.

Є кілька еквівалентних математичні формулювання теорії, які відомі під рядом різних імен. Хвиля де Бройля має макроскопічний аналог, що називається хвиля Фарадея.

Огляд

Теорія Де Бройля-Бома ґрунтується на таких постулатах:

• Існує конфігурація $q$ Всесвіту, що описується координатами $q^{k}$, які є елементом конфігураційного простору $Q$. Простір конфігурації відрізняється для різних варіантів теорії хвилі-пілота. Наприклад, це може бути простір позицій $\mathbf {Q} _{k}$ з $N$ частинок, або, у випадку теорії поля, простір конфігурацій поля $\phi (x)$. Конфігурація еволюціонує (для нульового спіну) у відповідності з керуючим рівнянням

$m_{k}{\frac {dq^{k}}{dt}}(t)=\hbar \nabla _{k}\operatorname {Im} \ln \psi (q,t)=\hbar \operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(q,t)={\frac {m_{k}{\mathbf {j}}_{k}}{\psi ^{*}\psi }}=\mathrm {Re} \left({\frac {{\mathbf {\hat {P}}}_{k}\Psi }{\Psi }}\right)$.

Де ${\mathbf {j}}$ — струм ймовірності або потік ймовірності і ${\mathbf {\hat {P}}}$ — оператор імпульсу. Тут $\psi (q,t)$ — стандартна комплекснозначна хвильова функція відома з квантової теорії, яка розвивається згідно з рівнянням Шредінгера

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}\psi (q,t)+V(q)\psi (q,t)$

Це вже завершує специфікацію теорії для будь-якої квантової теорії з оператором Гамільтона типу $H=\sum {\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {p}}_{i}^{2}+V({\hat {q}})$.

• Конфігурація розподілена згідно з $|\psi (q,t)|^{2}$ в деякий момент часу $t$, і це, отже, виконується для всіх моментів часу. Такий стан називається квантовою рівновагою. За допомогою квантової рівноваги, ця теорія узгоджується з результатами стандартної квантової механіки.

Слід зазначити, що навіть якщо це останнє співвідношення часто представляється як аксіома теорії, в оригінальних роботах Бома 1952 року воно було представлене як виведене зі статистично-механічних параметрів. Цей аргумент був також підтриманий роботою Бома в 1953 році і був обгрунтований роботою Віґєра і Бома 1954 року, якою вони ввели стохастичні рідинні флуктуації, які ведуть процес асимптотичної релаксації від квантової нерівноваги до квантової рівноваги (ρ → |ψ|²).

Експеримент з двома щілинами

Бомівські траєкторії для електрона, що проходить через експеримент з двома щілинами. Аналогічна картина була також екстрапольована слабкими вимірюваннями поодиноких фотонів.

Експеримент на подвійних щілинах є ілюстрацією корпускулярно-хвильового дуалізму. У ньому, пучок частинок (наприклад, електронів), проходить через бар'єр, який має дві щілини. Якщо помістити екран детектора за бар’єром, малюнок виявлених частинок показує інтерференційну картину, яка є характерною рисою хвиль, що надходять на екран з двох джерел (двох щілин). Однак, інтерференційна картина складається з окремих точок відповідних частинок, які потрапили на екран. Система, здається, демонструє поведінку хвиль (інтерференційна картина) і частинок(точки на екрані) одночасно.

Якщо змінити цей експеримент таким чином, щоб одна щілина була закритою, інтерференційна картина не спостерігається. Отже, стан обох щілин впливає на остаточний результат. Можна також організувати мінімально інвазивний детектор на одній із щілин, щоб визначити, через яку щілину пройшла частинка. Якщо це зробити, інтерференційна картина зникає.

Копенгагенська інтерпретація стверджує, що частинки не локалізовані в просторі, поки вони не будуть виявлені, отже, якщо немає ніякого детектора на щілинах, немає ніякої інформації про те, через які щілини частинка пройшла. Якщо щілина має детектор на виході, то хвильова функція руйнується через це виявлення.

У теорії де Бройля-Бома, хвильова функція визначена в обидвох щілинах, але кожна частинка має чітко визначену траєкторію, яка проходить через рівно одну зі щілин. Остаточне положення частинки на екрані детектора і щілина, через яку частинка проходить, визначається початковим положенням частинки. Таке вихідне положення невідоме і не контрольоване експериментатором, тому малюнок на детекторі виглядає випадковим. У своїх роботах 1952 року Бом використовував хвильову функцію для побудови квантового потенціалу, який при включенні в рівняння Ньютона, давав траєкторії частинок, що проходять через дві щілини. Насправді хвильова функція інтерферує сама з собою і веде частинки через квантовий потенціал таким чином, що частинки уникають регіонів, в яких інтерференція є деструктивною і притягуються до регіонів, в яких інтерференція є конструктивною, що призводить до інтерференційної картини на екрані детектора.

Для того, щоб пояснити поведінку, коли детектор виявляє, що частинка проходить через одну щілину, потрібно оцінити роль умовної хвильової функції, і як це призводить до колапсу хвильової функції; це пояснюється нижче. Основна ідея полягає в тому, що навколишнє середовище, що реєструє виявлення, ефективно відокремлює два хвильові пакети в конфігураційному просторі.

Теорія

Онтологія

Онтологія теорії де Бройля-Бома складається з конфігурації $q(t)\in Q$ Всесвіту і хвилі-пілота $\psi (q,t)\in \mathbb {C}$. Простір конфігурації $Q$ можна вибрати по-різному, як і в класичній механіці, так і в стандартній квантовій механіці.

Таким чином, онтологія теорії хвилі-пілота містить в якості траєкторій $q(t)\in Q$, відомих з класичної механіки, хвильові функції $\psi (q,t)\in \mathbb {C}$ квантової теорії. Таким чином, в кожен момент часу існує не тільки хвильова функція, але також чітко визначена конфігурацію цілого всесвіту (тобто система, визначена граничними умовами, використаними при розв’язуванні рівняння Шредінгера). Відповідність нашому досвіду проводиться шляхом ідентифікації конфігурації нашого мозку з деякою частиною конфігурації цілого світу $q(t)\in Q$, як і в класичній механіці.

У той час як онтологія класичної механіки є частиною онтології теорії де Бройля-Бома, динаміки дуже різні. У класичній механіці прискорення частинок надаються безпосередньо силами, які існують у фізичному тривимірному просторі. У теорії де Бройля-Бома, швидкості частинок визначаються хвильової функцією, яка існує в 3N-вимірному конфігураційному просторі, де N відповідає числу частинок в системі; Бом висунув гіпотезу, що кожна частка має "складну і тонку внутрішню структуру", яка забезпечує здатність реагувати на інформацію, надану хвильовою функцією через квантовий потенціал. Крім того, на відміну від класичної механіки, фізичні властивості (наприклад, маса, заряд) розкидані по хвильовій функції в теорії де Бройля-Бома, не локалізовані в положенні частинки.

Сама хвильова функція, а не частинки, визначає динамічну еволюцію системи: частинки не впливають назад на хвильову функцію. Як Бом і Гайлі сформульовали, "рівняння Шредінгера для квантового поля не має джерел, ані не має будь-якого іншого способу, за допомогою якого поле могло б безпосередньо залежати від стану частинок [...] квантову теорію можна повністю зрозуміти з точки зору припущення про те, що квантове поле не має джерел або інших форм залежності від частинок." П. Голланд вважає відсутність взаємної дії частинок і хвильової функції одною "[серед багатьох некласичних властивостей, які показуються цією теорією". Слід зазначити, однак, що Голланд пізніше назвав це просто удаваною відсутністю зворотної реакції, у зв'язку з неповнотою опису.

Надалі нижче, ми дамо установку для однієї частинки, що рухається у $\mathbb {R} ^{3}$ з подальшою установкою для $N$ частинок, що рухаються в 3-х вимірах. У першому випадку, конфігураційний простір і реальний простір однакові, в той час як у другому, реальний простір і раніше $\mathbb {R} ^{3}$, але конфігураційний простір стає $\mathbb {R} ^{3N}$. У той час, як частинка позиціонує себе в реальному просторі, поле швидкостей і хвильова функція знаходяться у конфігураційному просторі, в якому частинки заплутані одна з одною в цій теорії.

Розширення до цієї теорії включають в себе спін і більш складні конфігураційні простори.

Ми використовуємо варіації $\mathbf {Q}$ для позицій частинок в той час як $\psi$ представляє комплекснозначну хвильову функцію на конфігураційному просторі.

Керуюче рівняння

Для безспінової поодинокої частинки, що рухається у $\mathbb {R} ^{3}$, швидкість частинки задана

${\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} ,t)$.

Для багатьох частинок, ми позначаємо $k$-ту частинку як $\mathbf {Q} _{k}$, їхні швидкості задані

${\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t)$.

Основне, що варто зауважити, це те, що це поле швидкості залежить від фактичних позицій усіх $N$ частинок у Всесвіті. Як пояснено нижче, в більшості експериментальних ситуацій, вплив всіх цих частинок може бути записаний у ефективну хвильову функцію для підсистеми Всесвіту.

Рівняння Шредінгера

Одночастинкове рівняння Шредінгера визначає еволюцію в часі комплекснозначної хвильової функції на $\mathbb {R} ^{3}$. Рівняння являє собою квантований варіант повної енергії класичної системи, що еволюціонує під впливом дійснозначної функції потенціалу $V$ на $\mathbb {R} ^{3}$:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi$

Для багатьох частинок, рівняння таке же, за винятком того, що $\psi$ і $V$ тепер належать конфігураційному простору $\mathbb {R} ^{3N}$.

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}\psi +V\psi$

Це та сама хвильова функція традиційної квантової механіки.

Відношення до правила Борна

В оригінальних роботах Бома 1952 року він обговорює, як теорія Бройля-Бома випливає із звичайних результатів вимірювань квантової механіки. Основна ідея полягає в тому, що це вірно, якщо положення частинок задовольняють статистичний розподіл, заданий $|\psi |^{2}$. І той розподіл гарантовано буде виконуватися для всіх моментів часу через керуюче рівняння, якщо початковий розподіл частинок задовольняє $|\psi |^{2}$.

Для даного експерименту, ми можемо постулювати це як вірне твердження і експериментально перевірити, що це справді має місце, як воно і є. Але, як стверджується в Дюрра та ін., потрібно стверджувати, що цей розподіл для підсистем характерний. Вони стверджують, що $|\psi |^{2}$ в силу своєї еквіваріантності при динамічній еволюції системи, є підходящою мірою типовості для первинних станів положення частинок. Потім вони доводять, що переважна більшість можливих початкових конфігурацій буде приводити до статистичних даних, що підкоряються правилу Борна (тобто, $|\psi |^{2}$) для результатів вимірювань. Таким чином, у всесвіті, керованого динамікою де Бройля-Бома, поведінка правила Борна є типовою.

Таким чином, ситуація аналогічна ситуації в класичній статистичній фізиці. Початковий стан з низькою ентропією, з надзвичайно високою ймовірністю, перетвориться в стан з більш високою ентропією: поведінка, узгоджена з другим законом термодинаміки, є типовою. Є, звичайно, аномальні початкові умови, які призведуть до виникнення порушень другого закону. Проте, за відсутності будь-якого дуже детального доказу, що підтверджував би фактичну реалізацію одної з цих спеціальних початкових умов, було б зовсім нерозумно очікувати щось, крім фактично спостережуваного рівномірного зростання ентропії. Аналогічним чином, в теорії де Бройля-Бома, існують аномальні початкові умови, які спричинили б статистичні дані вимірювання з порушенням правила Борна (тобто, в протиріччі з передбаченнями стандартної квантової теорії). Але теорема типовості показує, що, за відсутності будь-якої конкретної причини вважати, що одна з цих спеціальних початкових умов була фактично реалізована, поведінка згідно з правилом Борна є також, яку слід очікувати.

Саме в цьому сенсі для теорії де Бройля-Бома правило Борна є теоремою, а не (як у звичайній квантовій теорії) додатковим постулатом.

Крім того, можна показати, що розподіл часток, що не є " розподіленими відповідно до правила Борна (тобто, розподіл 'поза квантовою рівновагою') і такий, що розвивається відповідно до динаміки де Бройля-Бома в переважній більшості випадків розвивається динамічно в стан, розподілений як $|\psi |^{2}$. Для прикладу, дивись Відео електронної щільності двовимірного вікна, що розвивається в рамках цього процесу доступне тут.

Примітки

• Albert, David Z. (May 1994). Bohm's Alternative to Quantum Mechanics. Scientific American. 270 (5): 58—67. doi:10.1038/scientificamerican0594-58.
• Barbosa, G. D.; N. Pinto-Neto (2004). A Bohmian Interpretation for Noncommutative Scalar Field Theory and Quantum Mechanics. Physical Review D. 69: 065014. arXiv:hep-th/0304105. Bibcode:2004PhRvD..69f5014B. doi:10.1103/PhysRevD.69.065014.
• Bohm, David (1952). A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables" I. Physical Review. 85: 166—179. Bibcode:1952PhRv...85..166B. doi:10.1103/PhysRev.85.166. (full text)
• Bohm, David (1952). A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables", II. Physical Review. 85: 180—193. Bibcode:1952PhRv...85..180B. doi:10.1103/PhysRev.85.180. (full text)
• Bohm, David (1990). A new theory of the relationship of mind and matter (PDF). Philosophical Psychology. 3 (2): 271—286. doi:10.1080/09515089008573004.
• Bohm, David; B.J. Hiley (1993). The Undivided Universe: An ontological interpretation of quantum theory. London: Routledge. ISBN 0-415-12185-X.
• Dürr, Detlef; Sheldon Goldstein; Roderich Tumulka; Nino Zanghì (December 2004). Bohmian Mechanics (PDF). Physical Review Letters. 93 (9): 090402. arXiv:quant-ph/0303156. Bibcode:2004PhRvL..93i0402D. doi:10.1103/PhysRevLett.93.090402. ISSN 0031-9007. PMID 15447078.
• Goldstein, Sheldon (2001). Bohmian Mechanics. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Hall, Michael J. W. (2004). Incompleteness of trajectory-based interpretations of quantum mechanics. Journal of Physics a Mathematical and General. 37: 9549—9556. arXiv:quant-ph/0406054. Bibcode:2004JPhA...37.9549H. doi:10.1088/0305-4470/37/40/015. (Demonstrates incompleteness of the Bohm interpretation in the face of fractal, differentialble-nowhere wavefunctions.)
• Holland, Peter R. (1993). The Quantum Theory of Motion : An Account of the de Broglie–Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48543-6.
• Nikolic, H. (2004). Relativistic quantum mechanics and the Bohmian interpretation. Foundations of Physics Letters. 18: 549—561. arXiv:quant-ph/0406173. Bibcode:2005FoPhL..18..549N. doi:10.1007/s10702-005-1128-1.
• Passon, Oliver (2004). Why isn't every physicist a Bohmian?. arXiv:quant-ph/0412119. Bibcode:2004quant.ph.12119P.
• Sanz, A. S.; F. Borondo (2003). A Bohmian view on quantum decoherence. European Physical Journal D. 44: 319—326. arXiv:quant-ph/0310096. Bibcode:2007EPJD...44..319S. doi:10.1140/epjd/e2007-00191-8.
• Sanz, A. S. (2005). A Bohmian approach to quantum fractals. Journal of Physics A: Math. Gen. 38: 319. arXiv:quant-ph/0412050. Bibcode:2005JPhA...38.6037S. doi:10.1088/0305-4470/38/26/013. (Describes a Bohmian resolution to the dilemma posed by non-differentiable wavefunctions.)
• Silverman, Mark P. (1993). And Yet It Moves: Strange Systems and Subtle Questions in Physics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-44631-7.
• Streater, Ray F. (2003). Bohmian mechanics is a 'lost cause'. Процитовано 25 червня 2006.
• Valentini, Antony; Hans Westman (2004). Dynamical Origin of Quantum Probabilities. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 461: 253—272. arXiv:quant-ph/0403034. Bibcode:2005RSPSA.461..253V. doi:10.1098/rspa.2004.1394.
• Bohmian mechanics on arxiv.org

Література

• John S. Bell: Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics: Collected Papers on Quantum Philosophy, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-81862-1
• David Bohm, Basil Hiley: The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory, Routledge Chapman & Hall, 1993, ISBN 0-415-06588-7
• Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, Nino Zanghì: Quantum Physics Without Quantum Philosophy, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30690-7
• Detlef Dürr, Stefan Teufel: Bohmian Mechanics: The Physics and Mathematics of Quantum Theory, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89343-1
• Peter R. Holland: The quantum theory of motion, Cambridge University Press, 1993 (re-printed 2000, transferred to digital printing 2004), ISBN 0-521-48543-6

Посилання

• "Гідродинаміка пілотованих хвиль" Bush, J. W. M., Annual Review of Fluid Mechanics, 2015
• "Bohmian Mechanics" (Стенфордська філософська енциклопедія)
• Відео з відповідями на типові запитання про бомівську механіку
• "Bohmian-Mechanics.net", домашня сторінка міжнародної дослідницької мережі по бомівської механіці, яка була розпочата Д. Дюрром, С. Ґольдштейном і Н. Занґі.
• Робоча група бомівської механіки в Мюнхені (Д. Дюрр)
• Група Бомівської механіки в університеті Інсбруку (Г. Ґрюбл)
• "Пілотні хвилі, бомівської метафізика і основи квантової механіки", курс лекцій з теорії де Бройля-Бома від Майка Тавлера з Кембриджського університету.
• "Напрямки 21-го століття в теорії де Бройля-Бома і за її межами", Серпень 2010 Міжнародна конференція з теорії де Бройля-Бома. Сайт містить слайди всіх доповідей останніх ультрасучасних досліджень теорії.
• "Спостереження за траєкторіями одного фотона за допомогою слабкого вимірювання"
• "Бомівської траєкторії вже більше не "приховані змінні"
• Спільнота Девіда Бома