Вимірювання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Типова вимірювальна стрічка з метричними та британськими одиницями вимірювання і дві центові монетки для порівняння.
Прилад для вимірювання відхилень від круглості.
Лабораторна вага.
Оптичний рефлектометр реального часу Yokogawa AQ7270 в процесі калібрування.

Вимі́рювання — пізнавальний процес визначення числового значення вимірюваної величини, а також дія, спрямована на знаходження значення фізичної величини дослідним шляхом, порівнюючи її з одиницею вимірювання за допомогою засобів вимірювальної техніки.

Числове значення вимірюваної величини — число, яке виражає відношення між двома величинами однакової природи — вимірюваною й умовною одиницею вимірювання.

Згідно із Законом України «Про метрологію та метрологічну діяльність» та ДСТУ 2681-94:

Вимірювання — відображення фізичних величин їх значеннями за допомогою експерименту та обчислень із застосуванням спеціальних технічних засобів[1][2].

У цьому визначенні закладені наступні головні ознаки поняття «вимірювання»:

  • вимірювати можна властивості реально існуючих об'єктів пізнання — фізичні величини;
  • вимірювання вимагає проведення дослідів, тобто теоретичні міркування чи розрахунки не замінять експеримент;
  • результатом вимірювання є фізична величина, відбиває значення вимірюваної величини.

Технічні засоби вимірювання[ред.ред. код]

Засіб вимірювальної техніки — технічний засіб, який застосовується під час вимірювань фізичних величин і має нормовані метрологічні характеристики[2].

До засобів вимірювальної техніки відносяться засоби вимірювань (міри фізичних величин, вимірювальні прилади, вимірювальні перетворювачі, вимірювальне устаткування вимірювальні інформаційні системи та ін.) та вимірювальні пристрої.

Сутність[ред.ред. код]

В науці вимірювання є одним з основних засобів пізнання навколишнього світу, в результаті якого отримується вимірювальна інформація. Вимірювання може відбуватись з використанням як безшкального засобу вимірювання (наприклад, калібр (вимірювання)), так і шкальними приладами вимірювання (лінійка, ваги, витратомір, акселерометр, спідометр та ін.).

Сутність найпростішого вимірювання полягає в порівнянні розміру фізичної величини Q з розмірами вихідної величини регульованої багатозначної міри q[Q]. У результаті порівняння встановлюють, що: q[Q]<Q<(q+1)[Q].

Звідси виходить, що

q=\operatorname {Int}(Q/[Q]),

де \operatorname {Int}(X) — функція, що виділяє цілу частину числа X[3].

Основне рівняння вимірювання має такий вигляд:

Q=q\left[Q\right],

де

Q — значення фізичної величини, оцінка розміру величини у вигляді деякого числа прийнятих для неї величин. Числа Q — це результати вимірювань, вони можуть використані для будь-яких математичних операцій.

q — числове значення фізичної величини, абстрактне число, що відображає відношення значення величини до відповідної одиниці даної фізичної величини.

[Q] — одиниця фізичної величини, тобто це фізична величина фіксованого розміру, якому умовно присвоєно числове значення, рівне одиниці.

Права частина рівняння називається числовим значенням вимірюваної величини.

Природа[ред.ред. код]

Вимірювання можливе через наявність кількісних характеристик в об'єктах матеріальної дійсності, здатності цих об'єктів змінюватися в широких межах, не втрачаючи якісної своєрідності.

Елементи[ред.ред. код]

Вимірювання передбачає такі основні складові елементи: об'єкт вимірювання, тобто вимірювану величину, спостерігача або технічний пристрій, що сприймає результати вимірювання, прилади для вимірювання, умови навколишнього середовища, в яких проводяться вимірювання, одиницю вимірювання, метод вимірювання і остаточний результат вимірювання.

Процедура вимірювання та вимірювальні операції[ред.ред. код]

Вимірювання виконуються за процедурою, яка визначається методикою виконання вимірювань.

Процедура вимірювання — це послідовність вимірювальних операцій, що забезпечує вимірювання згідно з обраним методом[2]. Отже, процедура вимірювання складається з вимірювальних операцій.

Вимірювальна операція — це операція з фізичними величинами або їх значеннями під час вимірювання[2]. До вимірювальних операцій належать: відтворення фізичної величини, порівняння фізичних величин і вимірювальне перетворення.

  • Відтворення фізичної величини — вимірювальна операція, що полягає у створенні та (чи) зберіганні фізичної величини заданого значення.
  • Порівняння фізичних величин — вимірювальна операція, що полягає у порівнянні двох розмірів (значень) однорідних фізичних величин.
  • Вимірювальне перетворення фізичних величин — вимірювальна операція, під час якої одна фізична величина перетворюється в іншу, функціонально з нею зв'язану. Фізичний ефект, на якому ґрунтується вимірювальне перетворення, називають принципом вимірювального перетворення. Вимірювальні перетворення поділяють на перетворення без зміни роду та зі зміною роду вихідної фізичної величини, а також на лінійні та нелінійні за видом функціональної залежності (лінійна чи нелінійна) між початковою величиною й тією величиною, що одержують після перетворення. Одним з поширених видів лінійного перетворення фізичної величини є масштабне вимірювальне перетворення, під яким розуміють лінійне вимірювальне перетворення фізичної величини без зміни її роду.

Метрологічне забезпечення вимірювань[ред.ред. код]

Докладніше: Метрологія

Успішне вирішення наукових і технічних задач, у тому числі забезпечення якості продукції у значній мірі залежить від ступеня досягнення єдності і достовірності (точності) вимірювань.

Єдність вимірювань — стан вимірювань, коли результати виражені в узаконених одиницях, а похибки результатів вимірювань відомі із заданою ймовірністю та не виходять поза задані межі. Єдність вимірювань необхідна для забезпечення порівняльності результатів вимірювань, проведених у різних місцях, в різний час з використанням різних методів і засобів вимірювання.

Точність вимірювань — характеристика ступеня наближення результату вимірювання до істинного значення вимірюваної величини. Для конкретних умов і цілей вимірювання існує свій раціональний рівень точності, котрий недоцільно перевищувати через зростання складності відповідних вимірювань.

Питання єдності і точності вимірювань вивчаються метрологією — наукою про вимірювання, методи і засоби забезпечення їхньої єдності і способи досягнення необхідної точності.

Завдання забезпечення єдності і точності вимірювань у державі покладено на Державну систему забезпечення єдності вимірювань (ДСВ) — комплекс нормативних, нормативно-технічних і методичних документів міжгалузевого рівня, котрі встановлюють правила, норми, вимоги, спрямовані на досягнення і підтримку єдності вимірювань в країні при необхідній точності.

Ця система відіграє особливу роль. У сучасній промисловості затрати праці на виконання вимірювань складають близько 10% загальних затрат праці на всіх стадіях створення і експлуатації продукції, а в окремих галузях промисловості досягають 50-60% (електронна, радіотехнічна та інші). Ефективність цих затрат визначається достовірністю і відтворюваністю вимірювань, які можуть бути досягнуті лише в умовах добре організованого метрологічного забезпечення господарства країни.

ДСВ ґрунтується на трьох основах: технічній, організаційній і нормативній.

Технічну основу ДСВ складають державні еталони, еталони фізичних одиниць та стандартні зразки, на кожний з яких розроблено відповідний нормативний документ. Порядок створення цих нормативних документів, їх структура регламентуються вимогами Державної системи стандартизації України.

Організаційною основою ДСВ є метрологічні служби, котрі забезпечують метрологічний нагляд і контроль у рамках своїх повноважень.

Нормативними документами ДСВ є державні стандарти, правила, положення, інструкції та рекомендації. Стандарти ДСВ позначаються перед номером стандарту цифрою 8. Основними нормативно-технічними документами ДСВ та інших систем є: ГОСТ 8.002-86[4]; ГОСТ 8.009-84[5]; ГОСТ 8.010-90[6]ПР 50.2.009-94[7]; ПР 50.2.006-94[8].

Класифікація вимірювань[ред.ред. код]

За фізичною природою вимірюваних величин вимірювання розподіляють на області і види. Під областю вимірювань фізичних величин розуміють фізичні величини, які властиві певній галузі науки та техніки й виділяються своєю специфікою. Вид вимірювань є частиною області вимірювань, що має свої особливості й відрізняється однорідністю вимірюваних величин. Поділ вимірювань на області та види не є сталим, він залежить від об'єктивних і суб'єктивних факторів. Один із варіантів такого поділу вимірювань, прийнятий Держстандартом України[9] розглядає вимірювання:

Крім цього вимірювання класифікують за наступними ознаками:

  • за характеристиками точності числових значень вимірюваної величини вимірювання поділяються на два види:
    • Метрологічні вимірювання, котрі поділяються на:
      • Вимірювання з максимально можливою точністю відповідно до наявного технічного рівня. Це вимірювання за допомогою еталонів і спрямовані насамперед на відтворення встановлених одиниць фізичних величин або ж фізичних констант.
      • Контрольно-повірочні вимірювання, похибки вимірювання яких не перевищують деяких наперед заданих значень. До них відносяться лабораторні вимірювання фізичних величин за допомогою зразкових засобів вимірювання високої точності.
    • Технічні вимірювання — вимірювання що проводяться у промислових умовах і визначаються зазвичай нижчим класом точності засобів вимірювання, ніж у попередніх двох випадках.
  • за числом вимірювань у ряді вимірювань — на разові та багаторазові. Найпоширенішими є одноразові вимірювання, тобто вимірювання фізичної величини виконані один раз. Проте в цілій низці практичних випадків, зокрема при використанні результатів вимірювань для прийняття рішень про стан якогось об'єкта або при виконанні вимірювань з підвищеною точністю, вимірювання одного і того самого розміру фізичної величини здійснюються декілька разів, тобто багаторазово. Отже, до багаторазових вимірювань слід віднести ті вимірювання, результат яких отримують шляхом обробки результатів повторних вимірювань фізичної величини одного і того самого розміру, виконаних більше трьох разів. Це пояснюється тим, що саме за таких умов для обробки результатів вимірювань можуть бути використані методи математичної статистики. Вимірювання одного і того самого розміру фізичної величини, які повторюються два або три рази, допускається називати дво- або триразовими;
  • за характером зміни вимірюваної величини в часі — на статичні та динамічні:
    • Статичні вимірювання — це вимірювання, при яких протягом певного проміжку часу вимірювана величина майже не змінюється або ж її значення змінюється поступово згідно з технологічним процесом.
    • Динамічні вимірювання — вимірювання, які показують зміну вимірюваної величини в часі при різних збуреннях, що впливають на об'єкт дослідження або ж на спосіб вимірювання. Динамічні вимірювання дають можливість вивчати динамічні властивості об'єкта і засобів вимірювальної техніки, особливо давачів (первинних вимірювальних перетворювачів).
  • за відображенням результатів вимірювання — абсолютні та відносні:
  • за способом одержання числового значення вимірюваної величини — прямі; непрямі (опосередковані, сумісні та сукупні):
    • При прямому вимірюванні результат одержують безпосередньо за експериментальними даними (вимірювання довжини лінійкою, вимірювання температури термометром, вимірювання тиску манометром). Вони є найпоширенішими.
    • При непрямому вимірюванні числове значення величини відшукують не безпосередньо, а на основі вимірювання інших величин, пов'язаних з вимірюваною величиною відомою математичною залежністю (визначення об'єму рідини у циліндричній посудині за висотою рідини в ній та площею дна V = S h; густини рідини за масою і її об'ємом — \rho = m/V).
      • Опосередковане вимірювання — непряме вимірювання однієї величини з перетворенням її роду чи обчисленнями за результатами вимірювань інших величин, з якими вимірювана величина пов'язана явною функційною залежністю[2]. Характерним для опосередкованих вимірювань є функціональне вимірювальне перетворення, яке здійснюється або шляхом фізичного вимірювального перетворення, або шляхом числового вимірювального перетворення.
      • При сумісних вимірюваннях значення декількох одночасно вимірюваних різнорідних величин отримують розв'язанням рівнянь, які пов'язують їх з іншими величинами, що вимірюються прямо чи опосередковано[2]. Переважно, результати таких вимірювань використовують у наукових дослідженнях.
      • При сукупних вимірюваннях значення декількох одночасно вимірюваних однорідних величин отримують розв'язанням рівнянь, що пов'язують їх різні сполучення, що вимірюються прямо чи опосередковано[2] (наприклад, визначення коефіцієнта лінійного теплового розширення).

Основні характеристики вимірювань[ред.ред. код]

Похибка вимірювання[ред.ред. код]

Важлива ознака вимірювання — точність. Ступінь точності змінюється залежно від вимог, які ставлять до результату вимірювання. На практиці не тільки неминучі, а й допустимі різні похибки вимірювання. Розроблено спеціальні методи оцінки й компенсації цих похибок.

Якість результатів вимірювання характеризується надійністю, правильністю і точністю. Існують три складові частини загальної похибки вимірювання і відповідні їм показники якості результатів вимірювання: грубі, систематичні і випадкові похибки. Відсутність грубих похибок (промахів) характеризує надійність результатів і досягається організацією вимірювання. Вилучення систематичних похибок характеризує правильність результатів і досягається за допомогою введення спеціальних коефіцієнтів або поправок. Випадкові похибки є неминучими, а їхні величини і закон розподілу характеризують точність результатів вимірювання.

Принципи, засоби та методи вимірювання[ред.ред. код]

З метою забезпечення точності вимірювань фізичних величин у метрології розроблені способи використання принципів і засобів вимірювальної техніки, дотримання яких дозволяє уникнути при отриманні результатів вимірювань низки систематичних і випадкових похибок.

Принцип вимірювання — фізичне явище або сукупність фізичних явищ, які покладені в основу вимірювання певної фізичної величини. Наприклад, вимірювання температури за допомогою використання термоелектричного явища, зміни електричного опору терморезистора чи зміни тиску термометричної речовини манометричного термометра та ін.

Метод вимірювання — сукупність способів використання засобів вимірювальної техніки та принципів вимірювань для створення вимірювальної інформації[2].

У виробництві та повсякденному житті у процесі вимірювань переважно застосовують прямі методи, що забезпечують визначення шуканої величини безпосередньо за експериментальними даними. До прямих методів вимірювання відносяться (перелік не є вичерпним):

  • Метод безпосередньої оцінки — вимірювана величина зчитується безпосередньо з шкали, табло чи екрану показувального пристрою вимірювального приладу (наприклад, вимірювання зусилля пружинним динамометром, визначення маси зважуванням на циферблатній вазі, вимірювання електричного струму амперметром). Вимірювання цим методом не є складним, проте точність невисока, але простота методу, швидкість процесу вимірювання визначив його широке застосування на практиці.
  • Метод порівняння з мірою полягає в тому, що вимірювана величина порівнюється з величиною, що відтворена мірою (міра — це засіб вимірювань, що реалізує відтворення та (або) збереження фізичної величини заданого значення[2]). Він відрізняється постійною участю міри в процесі вимірювань (причому за показниками вимірювального приладу оцінюється лише частина вимірюваної величини). Результат вимірювання визначається як сума значень порівняльної міри (наприклад, зважування на аналітичній вазі) і показу вимірювального приладу. Точність методу порівняння значно вища за точність методу безпосередньої оцінки, але складність застосовування приладів і самого процесу вимірювання інколи обмежує його застосування. Цей метод за технічними особливостями може бути реалізований як:
    • Метод зіставлення — це метод порівняння з мірою, коли вимірювана і відтворена мірою величини одночасно діють на пристрій порівняння. Значення шуканої величини визначається після досягнення рівноваги (наприклад, визначення маси на вазі важільного типу, як суми мас гир, що її зрівноважують).
    • Нульовий (компенсаційний) метод полягає у порівнянні величини з мірою, а результат впливу величин на прилад зводиться до нуля. Цей метод використовується в автоматичних вимірювальних приладах: вимірювальних мостах, потенціометрах, аналізаторах рідин та газів та ін.
    • Диференціальний (різницевий) метод полягає у визначенні вимірювальним приладом різниці між вимірювальною величиною та відомої (відтвореної) величини (наприклад, вимірювання надлишкового тиску диференційним манометром). Точність диференціального методу зростає зі зменшенням різниці між порівнюваними величинами.
    • Метод одного збігу (ноніусний) полягає у тому, що збігання між вимірюваною величиною і величиною відтвореною мірою визначається за збігом міток шкал або періодичних сигналів. Цей метод використовують при вимірюванні точних сигналів часу, частоти обертання з використанням стробоскопа, розмірів штангенциркулем тощо.
    • Метод подвійного збігу (метод коінциденції) полягає в одноразовому порівнянні n зістикованих вимірюваних величин X одного і того самого розміру із зразковою величиною Х0, що відтворюється багатозначною нерегульованою мірою зі ступенем ΔХ0. Результат вимірювання визначається за формулою
X = N \frac{\Delta X_0}{n}.
  • Метод заміщення — це метод порівняння, в якому вимірювана величина X заміщується величиною Х0, що відтворюється регульованою мірою. Точність методу заміщення залежить тільки від похибки міри і практично не залежить від систематичної похибки вимірювального приладу, що є суттєвою перевагою методу заміщення. Метод використовується у засобах вимірювальної техніки високої точності, в тому числі в еталонах.

Збіжність вимірювань[ред.ред. код]

У більшості випадків вимірювання — це багаторазове спостереження величини, що вимірюється. При цьому одержують сукупність вимірів, які необхідно сумісно обробити для одержання результату. Уточнений результат вимірювання одержують шляхом вилучення систематичних і випадкових похибок.

Збіжність вимірювань — характеристика якості вимірювань, що відображає близькість повторних результатів вимірювань однієї і тієї ж величини в однакових умовах[2].

Відтворюваність вимірювань[ред.ред. код]

Відтворюваність вимірювань — характеристика якості вимірювань, що відображає близькість результатів вимірювань однієї й тієї самої величини, виконаних у різних умовах (у різний час, у різних місцях, різними методами і засобами)[2] але приведені до однакових умов вимірювання (температура, тиск, вологість та ін.).

Статистична обробка результатів вимірювань[ред.ред. код]

Прямі вимірювання[ред.ред. код]

Визначення фізичної величини х за результатами проведених вимірювань проводиться в такій послідовності:

  • Проводять n вимірювань фізичної величини x, внаслідок яких отримують ряд значень x1, x3, x3, …, xn.
  • Обчислюють найімовірніше значення вимірюваної величини, яким є середнє арифметичне з результатів окремих вимірювань:
\tilde{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 +...+ x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i.

Середнє значення вимірюваної величини \tilde{x} наближається до істинного x при дуже великому числі вимірювань. При кінцевому числі вимірювань n це виконується з похибкою, і результат вимірювань подається у вигляді довірчого інтервалу ( \tilde{x} - \Delta x) \le x \le ( \tilde {x} + \Delta x), в якому буде знаходитись шукана величина x з імовірністю \alpha, що називається довірчою ймовірністю, або надійністю. Довірча ймовірність показує, яка частина вимірювань при великому їх числі потрапляє в довірчий інтервал.

Для розрахунку абсолютної похибки \Delta x, що визначає нижню і верхню межі довірчого інтервалу, необхідно виконати наступні дії:

  • Знаходять відхилення результатів кожного вимірювання від середнього значення:
\Delta x_1 = \tilde{x} - x_1; \Delta x_2 = \tilde{x} - x_2; ... ; \Delta x_n = \tilde{x} - x_n

і обчислюють суму квадратів відхилень від середнього:

 \sum_{i=1}^n (\Delta x_i)^2 = (\Delta x_1)^2 + (\Delta x_2)^2 + ... + (\Delta x_n)^2
  • Задаються довірчою ймовірністю вимірюваної величини α.
  • За значенням довірчої ймовірності α і числа вимірювань n з таблиць знаходять значення коефіцієнта Стьюдента t_{\alpha, n}.
  • Визначають абсолютну похибку за формулою розподілу Стьюдента
\Delta x = t_{\alpha, n} \sqrt {\frac {\sum_{i=1}^n (\Delta x_i)^2 }{n (n - 1)}}.

Абсолютна похибка \Delta x (а також і довірчий інтервал) тим менша, чим менший коефіцієнт Стьюдента, який у свою чергу можна змінити збільшенням числа вимірювань n, заданням меншої довірчої імовірності α чи зменшенням похибок окремих вимірювань.

  • Наступним кроком розраховують відносну похибку, що також характеризує точність вимірювань:
\delta = \frac {\Delta x}{\tilde x}.
  • Остаточний результат подається у вигляді значень величини з довірчим інтервалом та відносної похибки:
x = (\tilde {x} \pm \Delta x)_\alpha; \delta % = \frac {\Delta x}{\tilde x} \cdot 100 %.

Непрямі вимірювання[ред.ред. код]

При визначенні похибки непрямих вимірювань, коли фізична величина розраховується за робочою формулою, насамперед необхідно одержати формули для обчислення похибок у кожному конкретному випадку. Похибки непрямих вимірювань знаходять за відомими похибками прямих вимірювань

Для простого випадку, коли шукана величина обчислюється сумою (різницею) x = a + b, і при цьому величини a і b визначаються прямими вимірюваннями у вигляді довірчих інтервалів:

a = (\tilde a \pm \Delta a)_\alpha і b = (\tilde b \pm \Delta b)_\alpha .

Тоді середнє значення величини знаходиться як сума (або різниця) середніх значень величин, отриманих прямими вимірюваннями, що додаються, а абсолютна похибка дорівнює сумі абсолютних похибок відповідних доданків:

 \tilde x = \tilde a + \tilde b
 \Delta x = \left( \Delta a + \Delta b \right)_\alpha .

Якщо ж вимірювана величина обчислюється як функція декількох співмножників, то середнє значення знаходять за робочою формулою через середні значення виміряних складових, а формулу для отримання абсолютної похибки можна отримати наступним чином:

  • Задану робочу формулу сплчатку логарифмують за основою натурального логарифма.
  • Отриманий вираз диференціюють.
  • Вважаючи, що похибки малі, переходять на кінцеві прирости, замінюючи знак диференціала d на Δ а істинні значення середніми.
  • Статично незалежні величини додаються геометрично, тому відносна похибка шуканої величини визначається як геометрична сума окремих похибок.
  • За відносною похибкою знаходять абсолютну з врахуванням раніше обчисленого за робочою формулою середнього значення вимірюваної величини.
  • Остаточний результат записують у вигляді довірчого інтервалу та відносної похибки.

Філософське бачення[ред.ред. код]

Докладніше: Філософія науки

Навколо філософського змісту проблеми вимірювання в науці точиться постійна боротьба між матеріалізмом та ідеалізмом. На розв'язання проблеми вимірювання претендують інструменталізм, операціоналізм, логічний позитивізм. Інтерес для філософії становить теоретико-пізнавальна природа вимірювання, методологічний аналіз конкретних методів вимірювання, які співвідносять за певними правилами математичний формалізм теорії й фізичні об'єкти, відповідність числових значень теоретичним величинам і реальних показів вимірювальних приладів тощо.

Різновиди[ред.ред. код]

ВИМІРИ РІВНОТОЧНІ — виміри однієї або декількох однорідних величин проведені при однакових умовах: інструментами однакової точності, одним і тим же методом, спостерігачами однакової кваліфікації та досвідченості, при однакових приблизно зовнішніх умовах.[10]

ВИМІРИ НЕРІВНОТОЧНІ — виміри однієї або декількох однорідних величин проведені при неоднакових умовах.[10]

Див. також[ред.ред. код]

Виноски[ред.ред. код]

  1. Закон України «Про метрологію та метрологічну діяльність», стаття 1.
  2. а б в г д е ж и к л м ДСТУ 2681-94 Державна система забезпечення єдності вимірювань. Метрологія. Терміни та визначення.
  3. Сергеев А. Г., Крохин В. В. Метрология: Учеб. пособие для вузов.— М.: Логос, 2001.— 408 с.
  4. ГОСТ 8.002-86 ГСИ Государственный надзор и ведомственный контроль за средствами измерений.
  5. ГОСТ 8.009-84 ГСИ Нормиремые характеристики средств измерений.
  6. ГОСТ 8.010-90 Государственная система обеспечения единства измерений. Методики выполнения измерений.
  7. ПР 50.2.009-94 ГСИ. Порядок проведения испытаний и утверждения типа средств измерений (взамен ГОСТ 8.001-80, ГОСТ 8326-89, ГОСТ 8.383-80).
  8. ПР 50.2.006-94 ГСИ. Порядок проведения поверки средств измерений (взамен ГОСТ 8.438-81, ГОСТ 8.513-84).
  9. Національний класифікатор України. Український класифікатор нормативних документів ДК 004:2008
  10. а б Бугай П. Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів. Ч. 1. Видавництво Львівського університету, 1960. — С. 18.

Література[ред.ред. код]

  • Мала гірнича енциклопедія. В 3-х т. / За ред. В. С. Білецького. — Донецьк: Донбас, 2004. — ISBN 966-7804-14-3.
  • Цюцюра В. Д., Цюцюра С. В. Метрологія та основи вимірювань. Навч.посіб.- К.: Знання-Прес, 2003. -180с. — (Вища освіта XXI століття). — ISBN 966-7767-39-6
  • Стухляк П. Д., Іванченко О. В., Букетов А. В., Долгов М. А. Теорія інформації (інформаційно-вимірювальні системи, похибки, ідентифікація): навчальний посібник. — Херсон: Айлант, 2011. — 371 с. — ISBN 978-966-630-041-8