Розмірність Хаусдорфа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Розмірність Хаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює $\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(\rho(n))}{\ln(n)}$ , де $ρ(n)$ — мінімальне число множин діаметру $1 / n$ , якими можна покрити множину. Розмірність Хаусдорфа не визначена для необмежених множин. Навіть для обмежених множин деяке $ρ(n)$ може дорівнювати нескінченності.

[ред.] Розмірність Хаусдорфа

Трикутник Серпінського. Простір з фрактальною розмірністю log₂ 3 або ln3/ln2, що прибл. дорівнює 1.585

Розмірність Хаусдорфа — природний спосіб визначати розмірність множини у метричному просторі. Для багатьох випадків розмірність Хаусдорфа співпадає з топологічною розмірністю (розмірністю Лебега). Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Хаусдорфова розмірність скінченної множини дорівнює нулеві, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатнього об'єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Хаусдорфа може набувати дробових значень.

[ред.] Означення

Визначення розмірності Хаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай $M$ — обмежена множина у метричному просторі $X$ . Наприклад, нехай $X = R n$ .

[ред.] $δ$ -покриття

Нехай $\delta>0, \delta\in R$ . Не більш ніж зліченну сім'ю $\{ U_i \}_{i \in I}$ підмножин простору $X$ будемо називати $δ$ -покриттям множини $M$ , якщо виконуються наступні дві властивості:

$\Omega\subset \bigcup_{i\in I}\omega_i$
$M \subset \bigcup_{i\in I} U_i$
для всіх $i\in I$ діаметр $diam U i < δ$ (для всіх $i\in I$ діаметр множин $U i$ менший за $δ$ .

[ред.] ρ-міра Хаусдорфа

Нехай $ρ > 0$ . Нехай $\Theta=\{U_i\}_{i\in I}$ — покриття множини $M$ . Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: $F_\rho(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} (\operatorname{diam}\,U_i)^\rho$ . Позначимо через $M^{\delta}_{\rho}(M)$ «мінімальний розмір» $δ$ -покриття множини $M$ : $M^{\delta}_{\rho}(M) := \inf(F_\rho(\Theta))$ , де инфимум береться по всім $δ$ -покриттях множини $M$ . Очевидно, що функція $M^{\delta}_{\rho}(M)$ убуває по $δ$ . Отже, у неї є кінцева або нескінченна межа при $\delta\rightarrow 0$ : $M_{\rho}(M)=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0+}M^{\delta}_{\rho}(M)$ . Величина $M ρ (M)$ називається $ρ$ -мірою Хаусдорфа множини $M$ .

[ред.] Властивості ρ-міри Хаусдорфа

$ρ$ -міра Хаусдорфа є борелевской мірою на $X$ .
з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Хаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Хаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; $d$ - міра Хаусдорфа безлічей у $\mathbb{R}^d$ збігається з їхній $d$ -мірним обсягом.
M_ρ(M) убуває по ρ. Більш того для будь-якої множини M існує критичне значення ρ₀, таке, що:
- $M ρ (M) = 0$ для всіх $ρ > ρ 0$
- $M_{\rho}(M)=+\infty$ для всіх $ρ < ρ 0$ Значення $M_{\rho_0}(M)$ може бути нульовим, кінцев або нескінченним.

[ред.] Визначення розмірності Хаусдорфа

Розмірністю Хаусдорфа множини $M$ називається число $ρ 0$ з попереднього пункту.

[ред.] Властивості розмірності Хаусдорфа

Розмірність Хаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню размерності Мінковського.
Розмірність Хаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
Для самоподібних множин розмірність Хаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на $n$ частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами $r_1,r_2,\dots,r_n$ , то її розмірність $s$ є розв'язком рівняння $r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1$ . Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює $ln2 / ln3$ (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського — $ln3 / ln2$ (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).

[ред.] Дивіться також

У Вікіпедії є портал

«Математика»

[ред.] Література

Федер Е.. Фракталы (1991), МИР. ISBN 5-03-001712-7.

[ред.] Джерела інформації

Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
Пайтген Х.О. Рихтер П.Х. Красота фракталов.
Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах
Божокин С.В. Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы.
K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Розмірність Хаусдорфа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст