Крива Коха

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Крива Коха
Збільшення кривої Коха

Крива Коха — фрактальна крива, описана в 1904 році шведським математиком Хельге фон Кохом. Крива Коха цікава тим, що ніде не має дотичних, тобто ніде не диференційована, хоча всюди неперервна.

Три копії кривої Коха, побудовані (вістрями назовні) на сторонах правильного трикутника, утворюють замкнену криву, так звану сніжинку Коха. Крива Коха задається такою системою ітераційних функцій:

f1(z)=(1/3)*z;
f2(z)=(1/3)*z+(2/3);
f3(z)=(1/3)*z(cos(pi/3)+i*sin(pi/3))+(1/3);

Побудова[ред.ред. код]

Крива Коха є типовим геометричним фракталом. Процес її побудови виглядає так: беремо одиничний відрізок, поділяємо на три рівні частини і замінюємо середній інтервал рівностороннім трикутником без цього сегмента. У результаті утворюється ламана, що складається з чотирьох ланок довжини 1/3. На наступному кроці повторюємо операцію для кожного з чотирьох отриманих ланок і так далі. Гранична крива і є кривою Коха.


Властивості[ред.ред. код]

  • Крива Коха ніде не диференційована і не спрямна.
  • Крива Коха не має самоперетинів.
  • Крива Коха має проміжну (тобто не цілу) розмірність Хаусдорфа, яка дорівнює \ln4/\ln3\approx 1,26 оскільки вона складається з чотирьох рівних частин, кожна з яких подібна всій кривій з коефіцієнтом подібності 1/3.

Узагальнення[ред.ред. код]

Перші сім ітерацій побудови сніжинки Коха

Можливі узагальнення кривої Коха, також використовують при побудові підстановки ламаної з чотирьох рівних відрізків, але має іншу геометрію. Вони мають Розмірність Хаусдорфа від 1 до 2. Зокрема, якщо замість поділу відрізка 1:1:1 використовувати золотий перетин (φ: 1: φ), то отримаємо криву, що має відношення <! - Треба уточнити -> до мозаїк Пенроуза.

Також можна побудувати криву «Хрест Коха» на сторонах квадрата, при цьому проводячи побудову «в середину» квадрата.

Також можна побудувати «Сніжинку Коха» на сторонах рівностороннього трикутника.

Посилання[ред.ред. код]