Кубика

Набір кубічних кривих

У математиці, плоска кубічна крива — це алгебраїчна крива С, задана кубічним рівнянням

F(x, y, z) = 0

в однорідних координатах x:y:z проєктивної площини. У випадку неоднорідних координат афінного простору, у рівнянні беруть z = 1. Тут F є ненульовою лінійною комбінацією одночленів третього ступеня

x³, y³, z³, x²y, x²z, y²x, y²z, z²x, z²y, xyz.

Таких одночленів десять, тому кубічні криві утворюють проєктивний простір розмірності 9, відносно будь-якого даного поля К. Кожна точка P повинна належить кривій С, тобто задовольняти рівняння F. Таким чином, ми можемо знайти кубічну криву, яка проходить через будь-які дев'ять заданих точок. Вона може бути виродженою, і може бути не єдиною, але якщо точки знаходяться в загальному положенні, то крива буде унікальною і невиродженою. Це так само, як і те, що дві точки визначають пряму або п'ять точок визначають коніку. Якщо дві криві проходять через задану множину точок, то вони задають сімейство кубічних кривих, а точки мають додаткові властивості; див. теорему Келі-Бакараха.

Сингулярна кубічна крива y² = x² ⋅ (x + 1). Параметризація: t ↦ (t² − 1, t ⋅ (t² − 1)).

Кубічна крива може мати сингулярну точку, в цьому випадку вона має параметризацію для проєктивної прямої. У випадку несингулярний кубічної кривої, у неї існує дев'ять точок перегину, над алгебраїчно замкнутим полем, такими як комплексні числа. Це можна показати, якщо взяти однорідну версію матриці Гессе, яка визначає іншу кубічну криву, і перетнути її з C; точки перетину потім підраховують по теоремі Безу. Проте тільки три з цих точок можуть бути дійсними, тому що інші не можуть розглядатися в дійсній проєктивній площині. Дев'ять точок перегину несингулярної кубічної кривої мають властивість, що кожна лінія, що проходить через дві з них містить рівно три точки перегину.

Дійсні точки кубічних кривих вивчалися Ісааком Ньютоном. Дійсні точки несингулярної проєктивної кривої потрапляють до одного або двох «овалів». Один з цих овалів перетинає кожну дійсну проєктивну пряму, і, таким чином, нічим не обмежений у випадку, коли крива розглядається в евклідової площині. Він існує у вигляді одної або трьох нескінченних гілок, що містять три дійсних точок перегину. Інший овал, якщо він існує, не містить жодної дійсної точку перегину і може бути або у вигляді овалу, або у вигляді двох нескінченних гілок. Як і для конічних перетинів, пряма перетинає цей овал не більше ніж у двох точках.

Несингулярна кубічна крива визначає еліптичну криву, над будь-яким полем К, для якого вона має визначену точку. Еліптичні криві тепер, зазвичай, вивчаються у вигляді еліптичних функцій Вейєрштрасса, які визначають квадратичне розширення поля раціональних функцій, зроблених шляхом добування квадратного кореня з кривої. Це залежить від наявності K-раціональної точки, яка слугує точкою на нескінченності в формі Вейерштрасса. Існує багато кубічних кривих, які не мають таку точку, наприклад, коли K — поле раціональних чисел.

Сингулярні точки нескоротної плоскої кубічної кривої достатньо обмежені: одна подвійна точка, або один злам. Скоротна плоска кубічна крива це або конічний переріз та пряма, або три прямих, і, відповідно, мають дві подвійні точки чи точку самодотику (у випадку конічного перерізу і прямої), або до трьох подвійних точок чи однієї потрійної точки (конкурентні прямі), у випадку трьох прямих.

Кубічні криві в площині трикутника

Нехай ABC - трикутник з довжинами сторін a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |. По відношенню до ABC, багато названих кубічних кривих проходять через добре відомі точки. У прикладах, наведених нижче, використовуються два види однорідних координат: трилінійні та барицентричні. Для перетворення трикутних координат у барицентричні в кубічному рівнянні слід зробити заміну наступним чином:

x ↦ bcx, y ↦ cay, z ↦ abz;

для перетворення барицентричних у трилінійні використовується:

x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.

Більшість рівнянь для кубічних кривих мають вигляд

f(a, b, c, x, y, z) + f(b, c, a, y, z, x) + f(c, a, b, z, x, y) = 0.

У наведених нижче прикладах, такі рівняння записуються більш коротко в «циклічному запису суми», тобто:

[cyclic sum f(x, y, z, a, b, c)] = 0.

Кубічні криві, перераховані нижче, можуть бути визначені в термінах ізогонального кон'югату, позначені через X*, точки Х, що не лежить на бічній лінії АВС. Побудова X* наступним чином. Нехай L_A - відображення лінії XA на бісектрису внутрішнього кута А, і визначимо L_B і L_C аналогічно. Тоді три спроєктовані лінії сходяться в X*. В трилінійних координатах, якщо X = x:y:z, тоді X* = 1/x:1/y:1/z.

Кубика Нойберга

Трилінійне рівняння: [cyclic sum (cos A − 2 cos B cos C)x(y² − z²)] = 0

Барицентричне рівняння: [cyclic sum (a²(b² + c²) + (b² − c²)² − 2a⁴)x(c²y² − b²z²)] = 0

Кубика Нойберга (названа на честь Джозефа Жана Батіста Нойберга) - це ГМТ X таке, що X* знаходиться на прямій EX, де E є точкою нескінченності Ейлера (X(30) в Енциклопедії центрів трикутника). Крім того, ця кубика є ГМТ X, таким, що трикутник X_AX_BX_C є перспективним до ABC, де X_AX_BX_C є відображенням X на прямих  BC, CA, AB, відповідно.

Кубика Нойберга проходить через наступні точки: центр вписаного кола, центр описаного кола, ортоцентр, обидві точки Ферма, обидва ізодинамічних центра, точка нескінченності Ейлера, інші центри трикутників, ексцентрики, проєкції A, B, C на бічні лінії ABC, і вершини з шести рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах ABC.

Графіки і властивості кубиків Нойберга див. K001 на Кубикі Берхарда Гіберта в площині трикутника [Архівовано 9 квітня 2017 у Wayback Machine.].

Кубика Томсона

Приклад кубики Томсона (чорна крива). X знаходиться на кубикі, таким чином, що ізогональний кон'югат X (X′) на прямій X(2) – X.

Трилінійне рівняння: [cyclic sum bcx(y² − z²)] = 0

Барицентричне рівняння: [cyclic sum x(c²y² − b²z²)] = 0

Кубика Томсона - це ГМТ X таке, що X* знаходиться на прямій GX, де G є центром ваги.

Кубика Томсона проходить через наступні точки: центр вписаного кола, центр ваги, центр описаного кола, ортоцентр, точка Лемуана, інші центри трикутників, вершини A, B, C, ексцентрики, середини сторін BC, CA, AB, і середини висот ABC. Для кожної точки Р на кубикі, але не на бічній стороні кубику, ізогональний кон'югат P також на кубику.

Графіки і властивості див. K002 на кубику в площині трикутника [Архівовано 24 липня 2012 у Wayback Machine.].

Кубика Дарбу

Трилінійне рівняння: [cyclic sum (cos A − cos B cos C)x(y² − z²)] = 0

Барицентричне рівняння: [cyclic sum (2a²(b² + c²) + (b² − c²)² − 3a⁴)x(c²y² − b²z²)] = 0

Кубика Дарбу - це ГМТ X, таке, що X* лежить на прямій LX, де L = de Longchamps point. Також кубика є ГМТ X таке, що педальний трикутник від X - це чевіана деякої точки (яка лежить на кубиці Лукаса). Також ця кубика є ГМТ точки X, таким, що педальний трикутник від X і трикутник античевіани від X будуть проєкціями; перспективна точка лежить на кубиці Томсона. Для кожної точки Р на кубиці, але не на бічній стороні кубики, ізогональний кон'югат P також на кубиці.

Графіки і властивості див. K004 на кубику в площині трикутника [Архівовано 24 липня 2012 у Wayback Machine.].

Кубика Наполеона — Феєрбаха

Трилінійне рівняння: [cyclic sum cos(B − C)x(y² − z²)] = 0

Барицентричне рівняння: [cyclic sum (a²(b² + c²) − (b² − c²)²)x(c²y² − b²z²)] = 0

Кубика Наполеона — Феєрбаха - це ГМТ X*, яка належить прямій NX, де N - центр дев'яти точок (N = X(5) в Енциклопедії центрів трикутника).

Кубика Наполеона — Феєрбаха проходить через центри вписаного і описаного кіл, ортоцентр, першу і другу точки Наполеона, центри інших трикутників, вершини A, B, C, ексцентрики, проєкції центра ваги на висоти і центри 6 рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах ABC.

Графіки і властивості див. K005 на кубику в площині трикутника [Архівовано 15 квітня 2016 у Wayback Machine.].

Кубика Лукаса

Трилінійне рівняння: [cyclic sum (cos A)x(b²y² − c²z²)] = 0

Барицентричне рівняння: [cyclic sum (b² + c² − a²)x(y² − z²)] = 0

Кубика Лукаса - це ГМТ X, таке, що такий, що чевіанний трикутник X являє собою педальний трикутник деякої точки; точка лежить на кубикі Дарбу.

Кубика Лукаса проходить через центр ваги, ортоцентр, точку Жергона, точку Нагеля, de Longchamps point, центри інших трикутників, вершини антикомпліментраних трикутників і фокуси еліпса Штейнера.

Графіки і властивості див. K007 на кубику в площині трикутника [Архівовано 18 січня 2017 у Wayback Machine.].

Див. також

• Еліптична крива
• Кручена кубика
• Теорема Келі-Бакараха
• Конхоїда Слюза
• Трисектриса Маклорена

Посилання

• Bix, Robert (1998), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves, New York: Springer, ISBN 0-387-98401-1.
• Cerin, Zvonko (1998), Locus properties of the Neuberg cubic, Journal of Geometry, 63 (1–2): 39—56, doi:10.1007/BF01221237.
• Cerin, Zvonko (1999), On the cubic of Napoleon, Journal of Geometry, 66 (1–2): 55—71, doi:10.1007/BF01225672.
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), Some cubic curves associated with a triangle, Journal of Geometry, 53 (1–2): 41—66, doi:10.1007/BF01224039.
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1), Journal of Geometry, 66 (1–2): 72—103, doi:10.1007/BF01225673.
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2), Journal of Geometry, 68 (1–2): 58—75, doi:10.1007/BF01221061.
• Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), A Morley configuration, Forum Geometricorum, 1: 51—58.
• Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), The Simson cubic, Forum Geometricorum, 1: 107—114.
• Gibert, Bernard (2003), Orthocorrespondence and orthopivotal cubics, Forum Geometricorum, 3: 1—27.
• Kimberling, Clark (1998), Triangle Centers and Central Triangles, Congressus Numerantium, 129: 1—295. See Chapter 8 for cubics.
• Kimberling, Clark (2001), Cubics associated with triangles of equal areas, Forum Geometricorum, 1: 161—171.
• Lang, Fred (2002), Geometry and group structures of some cubics, Forum Geometricorum, 2: 135—146.
• Pinkernell, Guido M. (1996), Cubic curves in the triangle plane, Journal of Geometry, 55 (1–2): 142—161, doi:10.1007/BF01223040.
• Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (вид. 3rd), New York: Chelea