4-політоп

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графи шести опуклих правильних 4-політопів[en]
{3,3,3} {3,3,4} {4,3,3}

П'ятикомірник
4-симплекс

Шістнадцятикомірник
Ортоплекс
4-ортоплекс

Тесеракт
4-куб
{3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

Октаплекс
Двадцятичотирьохкомірник

Додекаплекс
Стодвадцятикомірник

Тетраплекс
Шестисоткомірник

4-політоп або чотиривимірний політоп — політоп у чотиривимірному просторі[1][2]. Зв'язана замкнута фігура, що складається з політопів меншої розмірності — вершин, ребер, граней (многокутників) та комірок[en] (тривимірних многогранників). Кожна грань належить рівно двом коміркам.

Двовимірним відповідником 4-політопа є многокутник, а тривимірним — тривимірний многогранник.

Топологічно 4-політопи тісно пов'язані з однорідними стільниками[en], такими як кубічний стільник, що замощує тривимірний простір. Подібно тривимірний куб пов'язаний із нескінченним двовимірним квадратним паркетом. Опуклі 4-політопи можна розрізати та розгорнути у вигляді розгорток у тривимірному просторі.

Визначення

[ред. | ред. код]

4-політоп є замкнутою чотиривимірною фігурою. Він складається з вершин (кутових точок), ребер, граней і комірок[en]. Комірка — тривимірний відповідник грані і є тривимірним многогранником. Кожна двовимірна грань повинна з'єднувати рівно дві комірки, аналогічно тому, як ребро тривимірного многогранника з'єднує рівно дві грані. Подібно до інших політопів, елементи 4-політопа не можна розділити на дві або більше множин, які також є 4-політопами, тобто він не є складеним.

Найвідомішим 4-політопом є тесеракт (гіперкуб), чотиривимірний відповідник куба.

Візуалізація

[ред. | ред. код]
Приклади подання двадцятичотирьохкомірників
Зріз Розгортка
Проєкції
Шлегель 2D ортогональна 3D ортогональна

4-політопи неможливо уявити в тривимірному просторі через зайву розмірність. Для візуалізації використовують низку технік.

Ортогональна проєкція

Ортогональні проєкції можна використовувати для показу різних симетрій 4-політопа. Проєкції можна подати у вигляді двовимірних графів, а можна — у вигляді тривимірних тіл як проєктивних оболонок[en].

Перспективна проєкція

Так само, як тривимірні фігури можна спроєктувати на плоский аркуш, чотиривимірні фігури можна спроєктувати в тривимірний простір або навіть на площину. Найпоширенішим видом проєкції є діаграма Шлегеля, що використовує стереографічну проєкцію точок на поверхню 3-сфери в тривимірному просторі, з'єднаних у тривимірному просторі прямими ребрами, гранями та комірками.

Зріз

Так само, як розріз многогранника виявляє поверхню розрізу, зріз 4-політопа дає «гіперповерхню» в тривимірному просторі. Послідовність таких зрізів можна використати для розуміння будови всієї фігури. Зайву розмірність можна прирівняти до часу для утворення анімації цих перерізів.

Розгортки

Розгортка 4-політопа складається зі многогранних комірок[en], з'єднаних гранями і розташованих у тривимірному просторі, так само, як многокутні грані розгортки тривимірного многогранника з'єднані ребрами і розташовуються всі в одній площині.

Топологічні характеристики

[ред. | ред. код]
Тесеракт у вигляді діаграми Шлегеля

Топологія будь-якого заданого 4-політопа визначається його числами Бетті та коефіцієнтами закруту[en][3].

Значення ейлерової характеристики, що використовується для характеристики многогранників, не узагальнюється належним чином на вищі розмірності і дорівнює нулю для всіх 4-політопів, якою б не була нижча топологія. Ця невідповідність ейлерової характеристики для достеменного розрізнення топологій у високих розмірностях веде до появи більш витончених чисел Бетті[3].

Подібно, поняття орієнтованості многогранника недостатньо для характеристики закруту поверхонь тороїдальних многогранників, що приводить до використання коефіцієнтів закруту[3].

Класифікація

[ред. | ред. код]

Критерії

[ред. | ред. код]

4-політопи можна класифікувати за властивостями, такими як «опуклість» і «симетрія»[3].

Класи

[ред. | ред. код]

Наведемо список різних категорій 4-політопів, класифікований згідно з викладеними вище критеріями:

Зрізаний стодвадцятикомірник[en] — один із 47 опуклих непризматичних однорідних 4-політопів

Однорідний 4-політоп[en] (вершинно-транзитивний).

Інші опуклі 4-політопи:

Правильний кубічний стільник — єдиний правильний нескінченний 4-політоп у евклідовому тривимірному просторі

Нескінченні однорідні 4-політопи в евклідовому 3-вимірному просторі (однорідні замощення опуклими однорідними комірками):

Нескінченні однорідні 4-політопи гіперболічного тривимірного простору (однорідні замощення опуклими однорідними комірками):

Двоїсті однорідні 4-політопи[en] (комірко-транзитивні[en]):

Інші:

Одинадцятикомірник — абстрактний правильний 4-політоп, що існує в дійсній проєктивній площині. Його можна уявити, намалювавши його 11 напівікосаедричних вершин і комірок у кольорі.

Абстрактні правильні 4-політопи:

Ці категорії включають лише 4-політопи з високим ступенем симетрії. Можливе існування багатьох інших 4-політопів, але їх не вивчали настільки інтенсивно, як перелічені вище.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Vialar, 2009, с. 674.
  2. Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010, с. 598.
  3. а б в г Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
  4. В англійській мові використано слово scaliform, утворене від двох слів — scale (багатозначне слово, тут — розмір, шкала) і uniform (однорідний). Назву запропонував Джонатан Боуерс (Jonathan Bowers)
  5. Uniform Polychora, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005

Література

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]