Група Брауера
У математиці групою Брауера поля k називається група класів еквівалентності скінченновимірних центральних простих алгебр над полем k із груповою операцією заданою тензорним добутком.
Група Брауера була визначена і вивчалася в серії робіт Брауера, Нетер, Алберта, Гассе і інших починаючи з 20-х років 20 століття. Найповніші результати, аж до повного обчислення групи Брауера, були отримані для числових полів у зв'язку з розвитком теорії полів класів. У термінах групи Брауера формулюється загальна форма закону взаємності.
Узагальненням поняття групи Брауера є група Брауера—Гротендіка, що визначається аналогічно група Брауера з заміною центральних простих алгебр на алгебри Адзумаї.
Алгебра A над полем k називається центральною простою, якщо її центр є рівним k і вона є простим кільцем. Якщо А і В є двома центральними простими алгебрами над полем k, то і їх тензорний добуток є центральною простою алгеброю.
Якщо A є центральною простою алгеброю над полем k то центральною простою алгеброю буде також обернена алгебра, тобто алгебра Аop побудована на тому самому векторному просторі із тією ж адитивною структурою і множенням на скаляр але із множенням заданим як До того ж де n — розмірність А над полем k.
Згідно теореми Веддерберна скінченновимірна проста алгебра A є ізоморфною матричній алгебрі M(n,S) для деякого тіла S. Дві скінченновимірні центральні прості алгебри A ~ M(n,S) і B ~ M(m,T) над полем F називаються подібними (еквівалентними за Брауером), якщо тіла S і T є ізоморфними.
Еквівалентність Брауера можна задати також і в інший спосіб: скінченновимірні центральні прості алгебри A і B над полем k є еквівалентними якщо для деяких натуральних чисел n і m алгебра є ізоморфною алгебрі
З означень очевидно, що у кожному класі Брауера міститься рівно одна алгебра з діленням.
Для класів Брауера [A] і [B] тепер можна ввести . Дана операція є коректно визначеною, тобто якщо A ~ C і B ~ D (у введеному відношенні еквівалентності), то також .
Оскільки то і клас еквівалентності поля k (який також містить всі повні матричні алгебри M(m,k)) є нейтральним елементом для даної бінарної операції.
Також [A][Аop ] = [Аop ][A] = [M(m,k)] = [k], тобто клас [Аop ] є оберненим до [A].
Із властивостей тензорного добутку також випливає, що введена операція є комутативною і асоціативною і тому множина класів еквівалентності із введеною операцією є абелевою групою, яка називається групою Брауера поля k і позначається
- Група Брауера дорівнює 0 для будь-якого сепарабельно замкнутого поля і будь-якого скінченного поля.
- Для поля дійсних чисел група Брауера є циклічною групою 2-го порядку і її ненульовий елемент — клас алгебри кватерніонів.
- Якщо k — поле p-адичних чисел або будь-яке повне дискретно нормоване локально компактне поле, то його група Брауера є ізоморфною (тут — адитивна група раціональних чисел, — адитивна група цілих чисел). Цей факт є важливим в локальній теорії полів класів.
- Група Брауера є абелевою.
- Група Брауера завжди є періодичною групою. Порядок будь-якого її елемента ділить число n, де n^2 — ранг тіла, що представляє цей елемент.
- Група Брауера функторіально залежить від k, тобто якщо K — розширення поля k, то визначений гомоморфізм Його ядро, що позначається складається з класів алгебр, що розщеплюються над К.
Нехай k — поле алгебричних чисел скінченного степеня або поле алгебричних функцій від однієї змінної із скінченним полем констант. Тоді має місце точна послідовність груп:
де v пробігає всі нормування поля k, а — відповідні поповнення поля k, гомоморфізм індукується природними вкладеннями Образ елемента з в називається локальним інваріантом, гомоморфізм є сумою локальних інваріантів. Цей факт встановлюється в глобальній теорії полів класів. Якщо k — поле алгебричних функцій від однієї змінної над алгебрично замкнутим полем констант, то його група Брауера є нульовою (теорема Тзена).
Конструкції схрещених добутків за допомогою систем факторів призводять до когомологічної інтерпретації група Брауера. Для будь-якого нормального розширення K/k має місце ізоморфізм
де — група двовимірних когомологій Галуа з коефіцієнтами в мультиплікативній групі поля K. Більш того, група є ізоморфною де — сепарабельне замикання поля k. Зіставлення центральній простій алгебрі її класу в група Брауера здійснюється за допомогою кограничного оператора
в когомологічній послідовності для точної послідовності груп
де і — лінійна і проективна групи матриць порядку Тут група інтерпретується як множина класів з точністю до k-ізоморфізму центральних простих алгебр рангу над полем k, що розщеплюються над K або як множина класів k-ізоморфних многовидів Брауера — Севері розмірності n-1, що мають K-точку.
Когомологічна інтерпретація група Брауера дозволяє розглядати її як групу класів центральних розширень групи Галуа сепарабельного замикання за допомогою групи
- Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко Конечномерные алгебры, Киев: «Вища школа», 1980, 192с.
- Draxl, P. K. (1983). Skew Fields. London Mathematical Society Lecture Note Series. Т. 81. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521272742.
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central Simple Algebras and Galois Cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. MR 2266528.
- Guillot, Pierre (2018). A Gentle Course in Local Class Field Theory: Local Number Fields, Brauer Groups, Galois Cohomology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781108377751.
- Saltman, David J. (1999). Lectures on Division Algebras. Regional Conference Series in Mathematics. Т. 94. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0979-2. MR 1692654.