Простий механізм: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії

[перевірена версія]

← Попереднє редагування Наступне редагування →

Вилучено вміст Додано вміст

ВізуальнийВікірозмітка

Лінійно

Версія за 17:54, 14 січня 2022

Прості механізми — різні пристрої, які дозволяють виконувати роботу за умови докладання до тіла порівняно невеликої сили (при одночасному збільшенні відстані переміщення) та змінювати напрям дії сили на зручніший для людини.

Жоден простий механізм не дає виграшу в роботі, а дає залежно від наявних потреб тільки виграш або в силі (F), або у відстані.

Загалом, їх можна визначити як найпростіші механізми, які використовують виграш у силі для збільшення сили.^[1] Зазвичай цей термін застосовують до шести класичних простих механізмів, винайдених ученими епохи Відродження:^[2]^[3]^[4]

Іноді цей список скорочують, вважаючи, наприклад, що клин та гвинт є різновидами похилої площини. Іноді до простих механізмів додають також гідравлічні пристрої, такі як поршень.

Простий механізм використовує одну прикладену силу для роботи проти однієї сили навантаження. Без урахування втрат на тертя робота, що виконується над вантажем, дорівнює роботі, яку виконує прикладена сила. Механізм може збільшувати вихідну силу завдяки пропорційному зменшенню відстані, на яку переміщується вантаж. Відношення вихідної сили до прикладеної сили називають виграшем у силі.

Прості механізми можна застосувати для отримання виграшу в швидкості переміщення. У цих випадках переміщувана частина пов'язана з довгим кінцем важеля (наприклад, поршень парової машини паровоза через шатун передає велике зусилля на коротке плече кривошипа, внаслідок чого обід колеса набуває великої швидкості), вільним кінцем талі тощо, і для приведення механізму в дію слід застосувати силу, у відповідне число разів більшу, ніж сила протидії^[5].

Прості механізми можна вважати елементарними «будівельними блоками», з яких складаються дедалі складніші машини (іноді звані «складеними механізмами»^[6]^[7])^[1]^[8]. Наприклад, колеса, важелі та блоки використовують у механізмі велосипеда^[9]^[10]. Виграш у силі складеного механізму дорівнює добутку виграшів у силі простих механізмів, з яких він складається.

Хоча вони, як і раніше, мають велике значення в механіці та прикладній науці, сучасна механіка вийшла за рамки уявлень про найпростіші механізми як про мінімальні будівельні блоки, з яких складаються всі машини, що виникли в епоху Відродження як неокласичне розширення давньогрецьких текстів. Ці шість категорій неадекватно описують величезне розмаїття та витонченість сучасних механічних з'єднань, які виникли під час промислової революції. Різні автори пост-ренесансу склали розширені списки «простих механізмів», часто використовуючи такі терміни, як базові машини^[9], складені машини^[6] або елементи машин, щоб відрізнити їх від класичних простих механізмів, описаних вище. До кінця 1800-х років Франц Рело^[11] ідентифікував сотні елементів машин, назвавши їх простими машинами^[12]. Сучасна теорія машин аналізує машини як кінематичні ланцюги, складені з елементарних зв'язків, званих кінематичними парами.

Історія

Ідея простого механізму виникла приблизно в III ст. до н. е. в грецького філософа Архімеда, який вивчав архімедові прості механізми: важіль, блок і гвинт. Він виявив для важеля принцип виграшу в силі^[13]. Знамените зауваження Архімеда з приводу важеля: «Дайте мені місце, на якому я стоятиму, і я посуну Землю» (грец. δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω)^[14] виражає розуміння того, що не існує межі передавального коефіцієнта, якого можна досягти за допомогою виграшу в силі. Пізніше грецькі філософи визначили класичні п'ять простих механізмів (за винятком похилої площини) та змогли обчислити їхній (ідеальний) виграш у силі^[7]. Наприклад, Герон Александрійський (бл. 10—75 н. е.) у своїй роботі «Механіка» перераховує п'ять механізмів, які можуть «привести в рух вантаж»; важіль, брашпиль, блок, клин і гвинт, і описує їх виготовлення та використання. Однак розуміння греків обмежувалося статикою найпростіших механізмів (балансом сил) і не включало динаміки, компромісу між силою та відстанню чи концепції роботи.

В епоху Відродження динаміку механічних сил, як називали прості механізми, почали розглядати з точки зору того, наскільки далеко вони можуть підняти вантаж, на додаток до сили, яку вони можуть докласти, що врешті-решт привело до нової концепції механічної роботи. 1586 році фламандський інженер Саймон Стевін отримав виграш у силі похилої площини, і її включено до інших простих механізмів. Повну динамічну теорію простих механізмів розробив італійський учений Галілео Галілей 1600 року в трактаті Le Meccaniche («Про механіку»), в якому він показав, що збільшення сили лежить в основі математичної подібності цих механізмів^[15]^[16]. Він був першим, хто пояснив, що найпростіші механізми не створюють енергії, а лише перетворюють її.

Класичні правила для тертя ковзання в машинах, відкриті Леонардо да Вінчі (1452—1519), але не опубліковані, а просто задокументовані в його записниках, ґрунтувалися на доньютонівській науці, такій як віра в тертя як ефірну рідину. Їх знову відкрив Гійом Амонтон (1699) і розвинув Шарль-Огюстен Кулон (1785)^[17].

Види простих механізмів

Прийнято виділяти вісім простих механізмів, з яких чотири є різновидами двох основних:

Похила площина — простий механізм у вигляді площини, встановленої під гострим кутом до горизонтальної поверхні.
- Клин дозволяє збільшити тиск за рахунок концентрації сили на малій площі. Використовується в списі, лопаті, кулі тощо.
- Гвинт — використовують у шурупах і для підіймання води (архімедів гвинт), як свердло в дрилях тощо.
Важіль — описав Архімед. Використовують, зокрема, для підіймання тягарів, як вимикачі і спускові гачки (шатун-кривошип — використовують у ткацькому верстаті, паровій машині, двигунах внутрішнього згоряння).
- Коловорот — використовують для підіймання води в криницях і для пасової передачі тощо.
- Блок — колесо з жолобом, яким пропускають мотузку, трос або ланцюг. Застосовують для змінювання величини чи напряму сили.
Колесо — використовують на транспорті та в зубчастих передачах. Найраніші знахідки коліс зустрічають на території сучасної Румунії (неолітична культура Кукутень — Трипілля) і і датують останньою чвертю 5 тисячоліття до н. е.^[18]
Поршень — дозволяє використовувати енергію нагрітих газів або пари, що розширюються. Застосовують, зокрема, у вогнепальній зброї, двигуні внутрішнього згоряння та паровій машині.

Ідеальний простий механізм

Якщо простий механізм не розсіює енергії за рахунок тертя, зношування або деформації, то енергія зберігається, і його називають ідеальним простим механізмом. У цьому випадку потужність, подавана в механізм, дорівнює вихідній потужності, а виграш у силі можна розрахувати на основі геометричних його розмірів.

Хоча кожен із механізмів працює механічно по-різному, математично вони працюють однаково^[19]. У кожному механізмі сила $F_{\text{in}}\,$ , прикладена в одній точці, спричинює виконання роботи, яка полягає в переміщенні вантажу за допомогою сили $F_{\text{out}}\,$ в іншій точці^[20]. Хоча деякі механізми змінюють тільки напрям сили, наприклад, нерухомий блок, більшість механізмів збільшують силу на коефіцієнт рівний виграшу в силі

\mathrm {MA} =F_{\text{out}}/F_{\text{in}}\,

який можна розрахувати, виходячи з геометрії машини та тертя.

Прості механізми не містять джерела енергії^[21], тому вони не можуть виконувати більше роботи, ніж отримують від вхідної сили^[20]. Простий механізм без тертя та пружності називають ідеальним простим механізмом^[22]^[23]^[24]. Завдяки збереженню механічної енергії, в ідеальному простому механізмі вихідна потужність (швидкість зміни енергії) у будь-який час $P_{\text{out}}\,$ дорівнює споживаній потужності $P_{\text{in}}\,$

P_{\text{out}}=P_{\text{in}}\!

Вихідна потужність дорівнює добутку швидкості навантаження $v_{\text{out}}\,$ і сили навантаження $P_{\text{out}}=F_{\text{out}}v_{\text{out}}\!$ . Так само підвідна потужність від прикладеної сили дорівнює добутку швидкості вхідної точки $v_{\text{in}}\,$ і прикладеної сили $P_{\text{in}}=F_{\text{in}}v_{\text{in}}\!$ . Отже,

F_{\text{out}}v_{\text{out}}=F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,

Отже, виграш у силі ідеальної машини $\mathrm {MA} _{\text{ideal}}\,$ дорівнює відношенню швидкостей, а саме відношенню вхідної швидкості до вихідної швидкості

\mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={v_{\text{in}} \over v_{\text{out}}}\,

Відношення швидкостей також дорівнює відношенню відстаней, пройдених за будь-який заданий період часу^[25]^[26]^[27]

{v_{\text{out}} \over v_{\text{in}}}={d_{\text{out}} \over d_{\text{in}}}\,

Отже, виграш у силі ідеального механізму також дорівнює відношенню відстані, пройденої на вході, до відстані, пройденої на виході.

$\mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={d_{\text{in}} \over d_{\text{out}}}\,$

Його можна розрахувати на підставі геометрії механізму. Наприклад, виграш у силі і відношення відстаней для важеля дорівнює відношенню плечей важеля.

Виграш у силі може бути як більшим так меншим від одиниці:

Якщо $\mathrm {MA} >1\,$ , вихідна сила більша від вхідної, машина діє як підсилювач, але відстань, на яку переміщується вантаж $d_{\text{out}}\,$ менша, ніж відстань, пройдена вхідною силою $d_{\text{in}}\,$ .
Якщо $\mathrm {MA} <1\,$ , вихідна сила менше від вхідної, але відстань, на яку переміщується навантаження, більша, ніж відстань, пройдена вхідною силою.

Для гвинта, який використовує обертальний рух, вхідну силу слід замінити крутним моментом, а швидкість — кутовою швидкістю обертання вала.

Тертя й коефіцієнт корисної дії

У всіх реальних машинах є тертя, через яке частина вхідної потужності розсіюється у вигляді тепла. Якщо позначити $P_{\text{fric}}\,$ потужність, що втрачається на тертя, за законом збереження енергії

P_{\text{in}}=P_{\text{out}}+P_{\text{fric}}\,

Механічний коефіцієнт корисної дії (ККД) $\eta \,$ машини (де $0<\eta \ <1$ ) визначається як відношення вихідної потужності до вхідної і є мірою втрат енергії на тертя.

\eta \equiv {P_{\text{out}} \over P_{\text{in}}}\,

P_{\text{out}}=\eta P_{\text{in}}\,

Як і вище, потужність дорівнює добутку сили й швидкості, тому

F_{\text{out}}v_{\text{out}}=\eta F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,

Отже,

$\mathrm {MA} ={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}=\eta {v_{\text{in}} \over v_{\text{out}}}\,$

Таким чином, у неідеальних машинах виграш у силі завжди менший, ніж відношення швидкостей, на коефіцієнт $\eta$ . Отже, механізм із тертям не зможе переміщувати такий самий вантаж, як і відповідний ідеальний механізм, використовуючи ту саму вхідну силу.

Складені механізми

Складений механізм — це машина, яка складається з набору простих механізмів, з'єднаних послідовно, причому вихідне зусилля одного забезпечує вхідне зусилля для наступного. Наприклад, настільні лещата складаються з важеля (ручки лещат), з'єднаного послідовно з гвинтом, а проста зубчаста передача складається з низки послідовно з'єднаних шестерень (коліс і осей).

Виграш у силі складеного механізму — це відношення вихідної сили останнього механізму в серії, до вхідної сили, прикладеної до першого механізму, тобто

\mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{outN}} \over F_{\text{in1}}}\,

Оскільки вихідна сила кожного механізму відіграє роль вхідної сили для наступного, $F_{\text{out1}}=F_{\text{in2}},\;F_{\text{out2}}=F_{\text{in3}},\ldots \;F_{\text{outK}}=F_{\text{inK+1}}$ , цей виграш у силі також забезпечується дією всього ланцюжка механізмів

\mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{out1}} \over F_{\text{in1}}}{F_{\text{out2}} \over F_{\text{in2}}}{F_{\text{out3}} \over F_{\text{in3}}}\ldots {F_{\text{outN}} \over F_{\text{inN}}}\,

Таким чином, виграш у силі складеного механізму дорівнює добутку виграшів у силі серії простих механізмів, які його утворюють.

\mathrm {MA} _{\text{compound}}=\mathrm {MA} _{1}\mathrm {MA} _{2}\ldots \mathrm {MA} _{\text{N}}\,

Так само, ККД складеного механізму також є добутком ККД низки простих механізмів, які його утворюють.

\eta _{\text{compound}}=\eta _{1}\eta _{2}\ldots \;\eta _{\text{N}}.\,

Самоблоковані механізми

У багатьох простих механізмах, якщо сила навантаження F_out на механізмі досить велика відносно вхідної сили F_in, то механізм буде рухатися назад, при цьому сила навантаження виконуватиме роботу проти вхідної сили^[28]. Таким чином, ці механізми можна використовувати в будь-якому напрямку, з рушійною силою, прикладеною до будь-якої точки. Наприклад, якщо сила навантаження на важелі досить велика, то важіль буде рухатися назад, переміщаючи вхідний важіль у протилежному напрямку від вхідної сили (переважить). Їх називають реверсивними або неблокованими механізмами.

Однак у деяких механізмах, якщо сили тертя досить великі, ніяка сила навантаження не може зрушити їх назад, навіть якщо вхідна сила дорівнює нулю. Такі механізми називають самоблокованими або необоротними^[28]. Ці механізми можна привести в рух тільки силою на вході, і коли силу зі входу прибрано, вони залишаються нерухомими, «заблокованими» тертям у будь-якому положенні, в якому їх зупинено.

Самоблокування виникає переважно в механізмах з великими площами ковзного контакту рухомих частин: гвинта, похилої площини і клина:

Найпоширеніший приклад — гвинт. У більшості гвинтів прикладення крутного моменту до валу може викликати його обертання, лінійне переміщення валу для виконання роботи проти навантаження, але ніяка сила осьового навантаження на вал не змусить його повернутися назад.
У похилій площині вантаж можна піднімати вгору по площині за допомогою бічної вхідної сили, але якщо площина не дуже крута і є достатнє тертя між вантажем і площиною, то коли вхідна сила знімається, вантаж залишиться нерухомим і не буде ковзати по поверхні, незалежно від його ваги.
Клин можна забити в дерев'яний брусок силою на кінці, наприклад, вдаривши по ньому кувалдою і розсунувши в боки деревину, але ніяка сила стиснення від дерев'яних стінок не змусить його вискочити із бруска.

Машина буде самоблокованою тоді і тільки тоді, коли її ККД η менше 50 %:^[28]

\eta \equiv {\frac {F_{out}/F_{in}}{d_{in}/d_{out}}}<0.50\,

Чи буде механізм самоблокованим, залежить як від сил тертя (коефіцієнта тертя спокою) між його частинами, так і від відношення відстаней $d_{in}/d_{out}$ (ідеальний виграш у силі). Якщо і тертя, й ідеальний виграш у силі досить великі, то він самоблокується.

Доведення

Коли механізм рухається в прямому напрямку з точки 1 у точку 2, при цьому вхідна сила виконує роботу проти сили навантаження, то, за законом збереження енергії^[29]^[30], вхідна робота $W_{\text{1,2}}\,$ дорівнює сумі робіт: виконаної проти сили навантаження $W_{\text{load}}\,$ і втраченої через тертя $W_{\text{fric}}\,$

$W_{\text{1,2}}=W_{\text{load}}+W_{\text{fric}}$

(1)

Якщо ККД нижче 50 % $\eta =W_{\text{load}}/W_{\text{1,2}}<1/2\,$

2W_{\text{load}}<W_{\text{1,2}}\,

Із (1)

2W_{\text{load}}<W_{\text{load}}+W_{\text{fric}}\,

W_{\text{load}}<W_{\text{fric}}\,

Коли механізм рухається назад з точки 2 в точку 1, або коли сила навантаження виконує роботу проти вхідної сили, через тертя втрачається енергія $W_{\text{fric}}\,$ . Аналогічно

W_{\text{load}}=W_{\text{2,1}}+W_{\text{fric}}\,

Таким чином, вихідна робота

W_{\text{2,1}}=W_{\text{load}}-W_{\text{fric}}<0\,

Отже, механізм самоблокується, тому що робота, витрачена на подолання тертя, більша, ніж робота, виконувана силою навантаження, яка переміщує його назад, навіть за відсутності вхідної сили.

Сучасна теорія механізмів

Машини розглядаються як механічні системи, що складаються з приводів і простих механізмів, які передають сили і рух, контрольованих давачами і контролерами. Компоненти актуаторів і механізмів складаються з ланок і шарнірів, що утворюють кінематичні ланцюги.

Кінематичні ланцюги

Докладніше: Кінематичний ланцюг

Прості механізми — це елементарні приклади кінематичних ланцюгів, які використовують для моделювання механічних систем, починаючи від парового двигуна і закінчуючи роботами-маніпуляторами. Вальни́ці, що утворюють вісь важеля і дозволяють обертатися колесу, осі і блокам, є прикладами кінематичної пари, званої шарнірним з'єднанням. Так само, плоска поверхня похилої площини і клин є прикладами кінематичної пари, званої ковзним з'єднанням. Гвинт зазвичай вважають окремою кінематичною парою, званою спіральним шарніром.

Два важелі або кривошипи утворюють плоску чотириланкову важільну систему завдяки приєднанню важеля між виходом одного кривошипа і входом іншого. Приєднавши додаткові ланки можна отримати шестиланковий механізм^[en]^[23].

Класифікація механізмів

Ідентифікація простих механізмів дозволяє систематично підходити до винайдення нових машин. Отже, важливою проблемою є те, як прості механізми об'єднуються для створення складніших механізмів. Один з підходів полягає в послідовному підключенні простих механізмів для отримання складних машин.

Однак, успішнішу ідею запропонував Франц Рело, який зібрав і вивчив понад 800 елементарних машин. Він зрозумів, що важіль, блок, а також колесо і вісь — це, по суті, один і той самий пристрій: тіло, що обертається навколо шарніра. Так само похила площина, клин і гвинт — це блок, що ковзає по плоскій поверхні^[31].

Ця ідея показує, що саме рухомі з'єднання є основними елементами машини. Починаючи з чотирьох типів зчленувань: обертального^[en], ковзного^[en], кулачкового і зубчастого, а також зв'язувальних з'єднань, таких як троси і ремені, можна уявити машину як сукупність твердих деталей, з'єднаних цими зчленуваннями.^[23]

Кінематичний синтез

Конструювання механізмів для виконання необхідного руху і передавання сили відома як кінематичний синтез. Це набір геометричних методів механічного проєктування важелів, кулачкових механізмів, зубчастих коліс і зубчастих передач.

Примітки

↑ ^а ^б Understanding Physics, Barnes & Noble
↑ Physics for Technical Students: Mechanics and Heat. McGraw Hill. с. 112. Процитовано 11 травня 2008.
↑ Mechanics. Encyclopaedia Britannica. Т. 3. John Donaldson. 1773. с. 44. Процитовано 5 April 2020.
↑ Academic Press Dictionary of Science and Technology. Gulf Professional Publishing. 1992. с. 1993. ISBN 9780122004001.
↑ Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. — М., Наука, 1964. — с. 162
↑ ^а ^б Compound machines, University of Virginia Physics Department
↑ ^а ^б Usher, Abbott Payson (1988). A History of Mechanical Inventions. US: Courier Dover Publications. с. 98. ISBN 978-0-486-25593-4.
↑ Wallenstein. Springer https://books.google.com/books?id=G9sZf7D24a8C&q=simple+machines&pg=PA136. {{cite conference}}: |first3= з пропущеним |last3= (довідка); Пропущений або порожній |title= (довідка)
↑ ^а ^б Prater, Edward L. (1994), Basic machines (PDF), U.S. Navy Naval Education and Training Professional Development and Technology Center, NAVEDTRA 14037
↑ U.S. Navy Bureau of Naval Personnel (1971), Basic machines and how they work (PDF), Dover Publications
↑ Reuleaux, F. (1963), The kinematics of machinery (translated and annotated by A.B.W. Kennedy), reprinted by Dover
↑ Cornell University, Reuleaux Collection of Mechanisms and Machines at Cornell University, Cornell University
↑ Chiu, Y.C. (2010), An introduction to the History of Project Management, Delft: Eburon Academic Publishers, с. 42, ISBN 978-90-5972-437-2
↑ Quoted by Pappus of Alexandria in Synagoge, Book VIII
↑ Krebs, Robert E. (2004). Groundbreaking Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages. Greenwood Publishing Group. с. 163. ISBN 978-0-313-32433-8. Процитовано 21 травня 2008.
↑ Stephen, Donald (2001). Wheels, clocks, and rockets: a history of technology. W.W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-32175-3.
↑ Armstrong-Hélouvry, Brian (1991). Control of machines with friction. Springer. с. 10. ISBN 978-0-7923-9133-3.
↑ Колесо изобрели не на Востоке. — Интервью с. н. с. Института истории материальной культуры РАН А. Д. Резепкина газете «Московский комсомолец».
↑ This fundamental insight was the subject of Galileo Galilei's 1600 work Le Meccaniche (On Mechanics)
↑ ^а ^б Bhatnagar, V.P. (1996). A Complete Course in Certificate Physics. India: Pitambar Publishing. с. 28—30. ISBN 978-81-209-0868-0.
↑ Simmons, Ron; Cindy Barden (2008). Discover! Work & Machines. US: Milliken Publishing. ISBN 978-1-4291-0947-5.
↑ Gujral, I.S. (2005). Engineering Mechanics. Firewall Media. ISBN 978-81-7008-636-9.
↑ ^а ^б ^в Uicker, Jr., John J.; Pennock, Gordon R.; Shigley, Joseph E. (2003), Theory of Machines and Mechanisms (вид. third), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-515598-3
↑ Paul, Burton (1979), Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-516062-6
↑ Rao, S.; Durgaiah, R. (2005). Engineering Mechanics. Universities Press. с. 80. ISBN 978-81-7371-543-3.
↑ Goyal, M.C.; Raghuvanshee, G.S. (2011). Engineering Mechanics. PHI Learning. с. 212. ISBN 978-81-203-4327-6.
↑ Avison, John (2014). The World of Physics. Nelson Thornes. с. 110. ISBN 978-0-17-438733-6.
↑ ^а ^б ^в Gujral, I.S. (2005). Engineering Mechanics. Firewall Media. с. 382. ISBN 978-81-7008-636-9.
↑ Rao, S.; R. Durgaiah (2005). Engineering Mechanics. Universities Press. с. 82. ISBN 978-81-7371-543-3.
↑ Goyal, M.C.; G.S. Raghuvanshi (2009). Engineering Mechanics. PHI Learning Private Ltd. с. 202. ISBN 978-81-203-3789-3.
↑ Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages, New York: McGraw-Hill, online link from Cornell University.

Література

Table of Mechanicks, from Ephraim Chambers (1728) Cyclopaedia, A Useful Dictionary of Arts and Sciences, Vol. 2, London, p.528, Plate 11.
Попов С. В., Бучинський М. Я., Гнітько С. М., Чернявський А. М. Теорія механізмів технологічних машин: підручник для студентів механічних спеціальностей закладів вищої освіти. Харків: НТМТ, 2019. 268 с.

[Asimov1988-1] а ^б Understanding Physics, Barnes & Noble

[Anderson-2] Physics for Technical Students: Mechanics and Heat. McGraw Hill. с. 112. Процитовано 11 травня 2008.

[Britannica1773-3] Mechanics. Encyclopaedia Britannica. Т. 3. John Donaldson. 1773. с. 44. Процитовано 5 April 2020.

[Morris-4] Academic Press Dictionary of Science and Technology. Gulf Professional Publishing. 1992. с. 1993. ISBN 9780122004001.

[5] Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. — М., Наука, 1964. — с. 162

[U_Virginia_elementary_curriculum-6] а ^б Compound machines, University of Virginia Physics Department

[Usher-7] а ^б Usher, Abbott Payson (1988). A History of Mechanical Inventions. US: Courier Dover Publications. с. 98. ISBN 978-0-486-25593-4.

[8] Wallenstein. Springer https://books.google.com/books?id=G9sZf7D24a8C&q=simple+machines&pg=PA136. {{cite conference}}: |first3= з пропущеним |last3= (довідка); Пропущений або порожній |title= (довідка)

[Prater1994-9] а ^б Prater, Edward L. (1994), Basic machines (PDF), U.S. Navy Naval Education and Training Professional Development and Technology Center, NAVEDTRA 14037

[USBureauNavalPersonnel1971-10] U.S. Navy Bureau of Naval Personnel (1971), Basic machines and how they work (PDF), Dover Publications

[Reuleaux1876-11] Reuleaux, F. (1963), The kinematics of machinery (translated and annotated by A.B.W. Kennedy), reprinted by Dover

[KMODDL-12] Cornell University, Reuleaux Collection of Mechanisms and Machines at Cornell University, Cornell University

[Chiu-13] Chiu, Y.C. (2010), An introduction to the History of Project Management, Delft: Eburon Academic Publishers, с. 42, ISBN 978-90-5972-437-2

[14] Quoted by Pappus of Alexandria in Synagoge, Book VIII

[Krebs-15] Krebs, Robert E. (2004). Groundbreaking Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages. Greenwood Publishing Group. с. 163. ISBN 978-0-313-32433-8. Процитовано 21 травня 2008.

[Stephen-16] Stephen, Donald (2001). Wheels, clocks, and rockets: a history of technology. W.W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-32175-3.

[17] Armstrong-Hélouvry, Brian (1991). Control of machines with friction. Springer. с. 10. ISBN 978-0-7923-9133-3.

[18] Колесо изобрели не на Востоке. — Интервью с. н. с. Института истории материальной культуры РАН А. Д. Резепкина газете «Московский комсомолец».

[19] This fundamental insight was the subject of Galileo Galilei's 1600 work Le Meccaniche (On Mechanics)

[Bhatnagar-20] а ^б Bhatnagar, V.P. (1996). A Complete Course in Certificate Physics. India: Pitambar Publishing. с. 28—30. ISBN 978-81-209-0868-0.

[Simmons-21] Simmons, Ron; Cindy Barden (2008). Discover! Work & Machines. US: Milliken Publishing. ISBN 978-1-4291-0947-5.

[Gujral-22] Gujral, I.S. (2005). Engineering Mechanics. Firewall Media. ISBN 978-81-7008-636-9.

[Uicker2003-23] а ^б ^в Uicker, Jr., John J.; Pennock, Gordon R.; Shigley, Joseph E. (2003), Theory of Machines and Mechanisms (вид. third), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-515598-3

[24] Paul, Burton (1979), Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-516062-6

[Rao1-25] Rao, S.; Durgaiah, R. (2005). Engineering Mechanics. Universities Press. с. 80. ISBN 978-81-7371-543-3.

[Goyal1-26] Goyal, M.C.; Raghuvanshee, G.S. (2011). Engineering Mechanics. PHI Learning. с. 212. ISBN 978-81-203-4327-6.

[Avison-27] Avison, John (2014). The World of Physics. Nelson Thornes. с. 110. ISBN 978-0-17-438733-6.

[Gujral2-28] а ^б ^в Gujral, I.S. (2005). Engineering Mechanics. Firewall Media. с. 382. ISBN 978-81-7008-636-9.

[Rao-29] Rao, S.; R. Durgaiah (2005). Engineering Mechanics. Universities Press. с. 82. ISBN 978-81-7371-543-3.

[Goyal-30] Goyal, M.C.; G.S. Raghuvanshi (2009). Engineering Mechanics. PHI Learning Private Ltd. с. 202. ISBN 978-81-203-3789-3.

[31] Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages, New York: McGraw-Hill, online link from Cornell University.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]