Аксіома булеана

Аксіома існування булеана (аксіома множини підмножин) формулюється так: «з будь-якої множини можна утворити булеан, тобто таку множину $~ d$ , яка складається з усіх власних і невласних підмножин $~ b$ даної множини $~ a$ ». Згідно з теорією множин математично ця аксіома записується так:

$~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a) \ )$

В аксіомі булеана вказаний тип множин (підмножини множини $~ a$ ), які повинні бути елементами утвореної множини $~ d$ . Разом з тим, аксіома булеана не містить алгоритма знаходження всіх елементів утвореної множини $~ d$ .

Аксіому булеана можна вивести з наступних висловлювань:

$~ \exist d \forall b \ (b \subseteq a \to b \in d)$

$~ \forall d \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in d \land b \subseteq a)$

Перше з цих висловлювань - одне з наслідків аксіоми булеана, а друге - одне з конкретизацій схеми виділень.

Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність булеана для кожної множини $~ a$ . Інакше кажучи, можна довести, що аксіома булеана рівносильна висловлюванню:

$~ \forall a \exists ! d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)$ , що є $~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\} \quad \land \quad \forall d' \ (d' \ne d \to d' \ne \{b: b \subseteq a\}) \ )$ .