Аксіома булеана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Аксіома існування булеана (аксіома множини підмножин) формулюється так: «з будь-якої множини можна утворити булеан, тобто таку множину ~ d, яка складається з усіх власних і невласних підмножин ~ b даної множини ~  a». Згідно з теорією множин математично ця аксіома записується так:

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a) \ )

В аксіомі булеана вказаний тип множин (підмножини множини ~ a), які повинні бути елементами утвореної множини ~ d. Разом з тим, аксіома булеана не містить алгоритма знаходження всіх елементів утвореної множини ~ d.

Аксіому булеана можна вивести з наступних висловлювань:

  • ~ \exist d \forall b \ (b \subseteq a \to b \in d)
  • ~ \forall d \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in d \land b \subseteq a)

Перше з цих висловлювань - одне з наслідків аксіоми булеана, а друге - одне з конкретизацій схеми виділень.

Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність булеана для кожної множини ~ a. Інакше кажучи, можна довести, що аксіома булеана рівносильна висловлюванню:

~ \forall a \exists ! d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a), що є ~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\} \quad \land \quad  \forall d' \ (d' \ne d \to d' \ne \{b: b \subseteq a\}) \ ).

Альтернативні формулювання аксіоми[ред.ред. код]

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a), де ~  b \subseteq a \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a)

~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\})

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \notin d \leftrightarrow \exist c \ (c \in b \land c \notin a))


Див. також[ред.ред. код]